Inégalités [Résolu]

beguise · 29-11-2008 15:51:53

bonjour,jai un dm a faire en math e je ni arrive pas serai til possible de m'aider a le fer svp
voici l'ennoncé:

SI 0<a<b ,laquelle de ces inégalités n'est pas toujours vrais(il faut le demontrer mathematiquement car sinon sa serai tro facil c'est se qu'a dit mon prof)

1)a² x a<b²xb (dsl je ne sait pa faire le signe au cube)

2)a+2<b+2

3)2a<3b

4)2/b+3<3/a+2

5)(a+2)<(b+3)

pour le moment je pense avoir trouver pour
-le 2 (a<b+2-2 =a<b)
-et le 5( on peu casser les parenthése parce qu il n'y a pa de facteur donc sela donne a+2<b+3 =a<b+1)

merci d'avance
a+

Dernière modification par beguise (29-11-2008 15:54:07)

yoshi · 29-11-2008 19:49:25

Bonjour,

Tu ne sais pas faire le signe cube ?
As-tu vu le bouton "Insérer une équation" qui appelle notre "Editeur de formules mathématiques" (programme Java de Sun MicroSystems, installé obligatoire) que Fred a spécialement concocté pour vous ? Non ? Alors il faut soit changer de lunettes soit consulter un ophtalmo... ;-)
Vous avez même droit à une page d'aide au format .pdf (pas lourde : 80 ko) que j'ai aussi créée spécialement pour vous...

Alors dans 0 < a < b, le 0 est là pour dire que les deux nombres sont positifs... Pour quelle raison ?
Il y a aura sûrement des multiplications à faire et il faudra appliquer la règle : "la mulltiplication par un nombre positif conserve l'ordre..

Ainsi
Question 1 : Je pars de a < b et je multiplie les deux membres par a² nombre positif et j'obtiens :
[tex]a\times a^2<b\times a^2[/tex] ou encore [tex]a^3 <a^2b[/tex] (1)

Et je repars de a < b et je multiplie les deux membres par ab (et je conserve l'ordre) :
[tex]a\times ab<b\times ab[/tex] ou encore [tex]a^2b<ab^2[/tex] (2)
La combinaison de (1) et (2) permet d'écrire : [tex]a^3 <a^2b<ab^2[/tex](3)
On repart encore une fois de a <b et on multiplie cette fois les deux membres par b² :
[tex]a\times b^2<b\times b^2[/tex] ou encore [tex]ab^2<b^3[/tex] (4)

En combinant (3) et (4), on peut écrire :
[tex]a^3 <a^2b<ab^2<b^3[/tex]
D'où [tex]a^3<b^3[/tex]
toujours vrai

Question 2 :
Mieux vaut partir de a < b dire que c'est la même chose que a + 0 < b et aussi que a+2-2 < b et continuer...
toujours vrai.

Question 3
Je montrerais d'abord que en partant de a < b on obtient 2a < 2b et comme 2b < 3b...
toujours vrai...

Question 5.
Puisque 2 < 3 alors 2 + b < 3 + b ou encore b+2 < b+3
Mais comme a < b alors a + 2< b + 2. On a donc a+2 < b+2 et b+2 < b+3 d'où a+2 < b+3
Toujours vrai...
Mais à cause de la 4) n'as-tu pas une erreur d'énoncé ? N'est-ce pas plutôt a+3 < b+2 ?
Parce que dans la 4) on a besoin de a+2 < b+3
On peut aussi s'inspirer de ce que tu as fait :
Si a < b alors a < b+1 or 1 = 3 -3 donc a < b+3-2 soit a + 2 < b+3

Question 4
Puisque 2 < 3 alors [tex]\frac{2}{b+3}<\frac{3}{b+3}[/tex]
Maintenant, dans une division, plus le diviseur (ici le dénominateur) est grand, plus le quotient (ici la fraction) est petit... Exemples 3/2 = 1,5 ; 3/3 = 1 ; 3/4 = 0,75 ; 3/6 = 0,5....
Donc comme b+3 > a+2 :
[tex]\frac{3}{b+3}<\frac{3}{a+2}[/tex]
Et enfin [tex]\frac{2}{b+3}<\frac{3}{b+3}[/tex] et [tex]\frac{3}{b+3}<\frac{3}{a+2}[/tex]
permettent de conclure :
[tex]\frac{2}{b+3}<\frac{3}{b+3}<\frac{3}{a+2}[/tex]
Donc que :
[tex]\frac{2}{b+3}<\frac{3}{a+2}[/tex]
Toujours vrai

Tout est vrai, alors je repose ma question : n'y a-t-il pas eu une erreur d'énoncé à la recopie, soit dans la 4), soit dans la 5)... ?

Maintenant une erreur de ma part, quoiqu'ici improbable, est toujours possible, nul n'est infaillible.

Je poste quand même et je réexamine ce que j'ai écrit...

@+

beguise · 29-11-2008 20:06:47

e merci esce ke vs ete sur pour le 1 jai un petit doute
parce que le b au cube devien koi

yoshi · 29-11-2008 20:22:42

Re,

Non pas d'erreur ! Avec 0<a<b on a toujours [tex]0<a^3<b^3[/tex]
Une autre démonstration :
Puisque a < b, on multiplie les deux membres par a : a^2 < ab
Puisque a < b, on multiplie les deux membres par b : ab < b² (1)
Sachant que a² < ab et ab < b², on en déduit a² < b².

Sachant que a² <b², on multiplie les deux membres par a : [tex]a^3 < ab^2[/tex]
Sachant que ab <b² (1), on multiplie les deux membres par b : [tex]ab^2 < b^3[/tex]
Sachant que [tex]a^3 < ab^2[/tex] et [tex]ab^2 < b^3[/tex], on en déduit [tex]a^3 < b^3[/tex]

Bon cela dit, je t'ai prévenu la dernière fois (voir http://www.bibmath.net/forums/viewtopic.php?id=2168 et notamment mon EDIT de ton dernier message #17)...
Tu n'as toujours pas compris ou tu fais dans la provocation...

PAS DE SMS sur les Forums!

Discussion fermée...

@+

yoshi · 30-11-2008 10:39:13

RE,

Ca y est ?
C'est rentré ?
Si oui, j'attends un signe, et je déverrouille le sujet...

Comme je n'aime pas les questions sans réponses, je me suis repenché sur le 4.
Probablement est-ce : [tex]\frac{2}{b}+3<\frac{3}{a}+2[/tex] ?
Seule cette notation n'est pas équivoque...
Et dans ce cas cette affirmation n'est pas toujours vraie...
On a :
[tex]{2 \over b}<{3 \over b}[/tex]
Et comme a < b, alors [tex]{3 \over b}<{3 \over a}[/tex]
On a donc [tex]{2 \over b}<{3 \over b}[/tex] et [tex]{3 \over b}<{3 \over a}[/tex] qui permet de conclure que
[tex]{2 \over b}<{3 \over a}[/tex]
Ce qui est toujours vrai est donc : [tex]{2 \over b}+3<{3 \over a}+3[/tex]
Mais rien ne garantit alors que :
[tex]{2 \over b}+3<{3 \over a}+2[/tex]
Si l'écart entre [tex]{2 \over b}\; et\; {3 \over a}[/tex] est inférieur à 1, il y a problème !
Exemple a = 3 et b = 4 --> [tex]{2 \over b} ={2\over 4}=0,5\;\;et \;\;{3 \over a}={3\over 3}=1[/tex] (L'écart est de 0,5)
Et :
[tex]0,5+3<1+2[/tex] est faux !

@+

[EDIT]
....Discussion réouverte à 18 h 58...

PS
On peut tracer la courbe d'équation y = x^3 : ça peut se faire avec un tableur en mettant les valeurs de x sur une ligne les valeurs de x^3 sur la ligne suivante, puis en sélectionnant les deux lignes et en demandant un diagramme et on obtient une courbe qui monte sans cesse. Autrement dit plus x est grand plus x^3 est grand (on peut en apporter une preuve à partir de la 2nde).
Je ne vois vraiment pas ce qui te chagrinait avec le b^3...

Dernière modification par yoshi (30-11-2008 18:59:01)

beguise · 02-12-2008 22:03:31

merci,

et vous aviez raison j'en ai parler a mon prof et il a vu quil avait fait une erreur d'énoncer et que donc toute les inequation son juste

yoshi · 03-12-2008 11:37:45

Salut,

Ah ! Quand même ! J'avais raison...
Il faut lui suggérer qu'il corrige [tex]\frac{2}{b+3}<\frac{3}{a+2}[/tex] en [tex]\frac{2}{b}+3<\frac{3}{a}+2[/tex]

@+

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