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yoshi

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Conjecture de Syracuse : discussion ouverte par Titus

Bonsoir,

ET bien apparemment, voici une deuxième discussion que je ne peux plus ouvrir après une réponse...

J'y disais en substance que j'étudierais ça demain (c'est raté !) : ce soir, je suis HS.

J'y disais aussi que tu avais fait un gros contresens sur le "en fin de course" : cela voulait simplement dire que selon que l'on prenne 3x+1 ou (3x+1)/2 le nombre 4 avait ou pas 1 comme antécédent, mais que ce n'avait qu'une importance très relative puisqu'on était alors "en fin de course", en bout de chaîne, en fin de calculs...

J'y disais encore que je n'avais pas l'intention de "lâcher le morceau" avant d'être convaincu soit dans un sens soit dans l'autre...

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titus

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Re : Conjecture de Syracuse : discussion ouverte par Titus

Bonjour.

Bien, j'aime bien les gens tenaces.

Une question, pour f(x)=(3x+7)+1 avec x=5

Tu écris f(x)=(15+7)+1=22+1=23 ou directement le résultat

Une variante de syracuse ou +1 est remplacé par +3, je n'écris pas les nombres pairs

Il s'agit de deux fonctions différentes mais une bijection est facile entre les deux.
syracuse entre parenthèses

1-3
------------3-3(1-1)
5-9-15-3
7-3
------------9-15-3(3-5-1)
11-9-15-3
13-21-33-51-39-15-3
-----------15-3(5-1)
17-27-21-33-51-39-15-3
19-15-3
-----------21-33-51-39-15-3(7-11-17-13-5-1)
On ne va pas l'analyser ici, ce sera fait au quatrième chapitre, juste dire si il y a des boucles dans l'une il y en a dans l'autre, si il n'y a pas de boucles dans l'une il n'y en a pas dans l'autre.

Cette nouvelle fonction est en 2x+1, c'est à dire que les antécédents de 9 sont 5, 11, 23, 47, 95 ...etc les non multiples de 3 n'ont pas d'antécédents impairs
Les antécédents de 15 sont 9, 19, 39, 79, 159...etc idem à chaque fois il y a un unique antécédent qui ne soit pas un 2x+1 avec x pair, ici 9

Je peux démontrer que si il y avait une boucle, il y aurait un nombre avec deux antécédents qui ne seraient pas  des 2x+1 avec x pair or c'est impossible qu'un nombre ait 2 antécédents de cette sorte, mais si tu fais une fixette sur tes nombres
pairs je laisse tomber.

@+

yoshi

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Re : Conjecture de Syracuse : discussion ouverte par Titus

Bonjour,

Le propre d'un mathématicien (petit, à mon niveau) ne serait-il donc pas d'être tenace ?

Bon, si je modifie légèrement mon code informatique pour prendre U_0 impair et [tex]U_n=\frac{3U_{n-1}+1}{2^p}\;;\;p\in \mathbb{N}^*[/tex] p étant l'exposant suffisamment grand permettant d'obtenir un résultat impair, alors j'obtiens les séquences suivantes :
11-17-13-5-1
19-29-11-17-13-5-1
133-25-19-29-11-17-13-5-1
C'est comme ça que tu veux travailler ?
Bon, c'est juste une adaptation de la définition de la suite de Syracuse telle qu'on saute l'étape nombre pairs pour passer directement aux nombres impairs.
Si c'est ça, ok. Ca ne doit pas nuire à la démonstration.

Maintenant on va se recentrer sur ta méthode, sans passer à une autre variante, juste donc avec la définition suivante :

U_0 impair et [tex]U_n=\frac{3U_{n-1}+1}{2^p}\;;\;p\in \mathbb{N}^*[/tex] p étant l'exposant suffisamment grand permettant d'obtenir un résultat impair.

Questions.
Comment prouves-tu (sans retracer toutes les étapes) :
* [tex]U_0=143\;;\;\lim_{n \to \infty}U_n = 1[/tex] (37 étapes) ?
Questions
* [tex]U_0=89959\;;\;\lim_{n \to \infty}U_n = 1[/tex] (86 étapes) ?
* [tex]U_0=7\,100\,000\,110\,011\,100\,101\,000\,010\,010\,000\,001\,011 \;;\;\lim_{n \to \infty}U_n = 1[/tex] (404 étapes) ?

Généralisation
Quel que soit le nombre [tex]2k+1 \;;\;k\in\mathbb{N}^*[/tex], comment vas-tu prouver que :
[tex]U_0=2k+1\;;\;\lim_{n \to \infty}U_n = 1[/tex] ?

@+

titus

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Re : Conjecture de Syracuse : discussion ouverte par Titus

Bonjour.
Je vois que tu zappes le chapitre des boucles pour passer à celui de la distribution, au fait tous les messages précédents sont perdus définitivement ?
La conjecture est : tous les nombres tendent-ils vers 1 ?
Ici on voit que syracuse est foisonnante, pour la résoudre par une distribution des durées de vol en altitude, deux solutions, distinguer les cas par leur forme, c'est le système le plus répandu sur le net et aussi celui qui est voué à l'échec, en effet il faut une preuve pour chaque cas et le nombre de cas est infini, deuxième solution, distinguer les nombres d'étapes nécessaires pour passer d'une densité x à une densité y=x:2 dans un espace fini et reproductible et voir si la suite de ces nombres
est prévisible.
L'espace fini et reproductible est nécessaire pour prouver qu'il ne s'agit pas d'heuristique.
Pour ta question, tout ce que je peux dire c'est que tes nombres vont à 1 puisque tous les nombres vont à 1, par contre le genre de réponses que je peux te donner
c'est pour un espace donné, choisi par moi, un nombre d'étapes donné et choisi par moi le nombre de nombres qui résistent dans un vol en altitude.
Le terme choisi ne veut pas dire petit.
Quand à tes nombres, faut pas rêver il n'y auras pas beaucoup d'amélioration par rapport au système que tu utilises aujourd'hui.
Je me dépêche je vais chercher des clopes.
@+

Dernière modification par titus (30-11-2008 18:37:47)

yoshi

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Re : Conjecture de Syracuse : discussion ouverte par Titus

Bonsoir,

Hélas, je crains que les messages précédents soient bloqués. Je pense que ma dernière réponse a été indexée (ou mal transmise) dans la base.
Si c'est le cas, seul Fred qui peut intervenir sur la base pourrait peut-être, en supprimant le fautif (je ne sais si c'est techniquement faisable), débloquer la situation.

Bon, ton premier message disait en gros : << Je pense avoir résolu la conjecture de Syracuse ! >>, autrement dit moi j'en ai déduit que Un étant défini comme dans la forme compressée dont tu fais usage que, quel que soit le nombre [tex]U_0[/tex] de départ, tu as apporté la preuve que [tex]\lim_{n \to \infty} U_n = 1[/tex]

Et maintenant tu dis :

Pour ta question, tout ce que je peux dire c'est que tes nombres vont à 1 puisque tous les nombres vont à 1, ....

Mais ça, ça ne signifie rien d'autre que << C'est vrai parce que... c'est vrai ! >>
Peux-tu, oui ou non, apporter la preuve que avec chacun des [tex]U_0[/tex] proposés, [tex]\exists\,n \in \mathbb{N}\;;\;U_n=1[/tex] ?
vers 1...
Peux-tu, oui ou non, apporter la preuve que [tex]\forall k\in\mathbb{N}^*, \forall\,U_0=2k+1\;;\;\exists\,n \in \mathbb{N}\;;\;U_n=1[/tex] ?

J'avais aussi cru comprendre (je ne connaissais pas cette suite avant ton sujet) que justement depuis 1928, on s'acharnait à apporter la preuve que la suite tendait vers 1  quel que soit le nombre [tex]U_0[/tex] de départ...

@+

titus

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Re : Conjecture de Syracuse : discussion ouverte par Titus

Bonsoir.
Ce que je veux dire, c'est que je démontre d'une manière globale que tous les nombres vont à 1 et que une fois que c'est fait je me sers de cela pour dire que les tiens vont à 1
Comme je n'ai plus qu'une fonction, je me suis débarrassé de la fonction " divisé par 2 " , un nombre de départ qui donne un nombre plus petit en étant passé une fois par la fonction sera considéré comme arrêté en a1, 1 étant le nombre d'itérations par lesquelles il a du passer (étapes impairs) .
rappel, il ne s'agit pas de moyennes mais de nombres exacts, ni de hasard, l'espace fini utilisé est reproductible.
Pour que le vol en altitude d'un nombre s'arrête par exemple en a2, il a été multiplié 2 fois par 3 soit 9 il doit être divisé au minimum par 16 dans sa totalité, puissance de 2 immédiatement supérieur à 9.
le +1 essentiel puisqu'il transforme un nombre impair en nombre pair n'a pas d'autres rôle dans la distribution.
A chaque itération une fraction des nombres va s'arrêter, il y a toujours une puissance de 2 supérieure, il reste donc à savoir si la somme des fractions tend vers 1 et comme la montée est constante, cela devrait vite se voir.
Ce que j'appelle le reste correspond à la fraction des nombres qui après x étapes sont plus élevés  que leur nombre de départ. Soit z le nombre de départ.
z s'arrête en a0, il doit être divisé par 2 (nombres pairs) soit 1/2 s'arrête, il reste 1/2
z:2
z s'arrête en a1, il doit être divisé par 4, soit 1/4 s'arrête, il reste 1/4
zx3:4
z s'arrête en a2, il doit être divisé par 16, soit 1/16 s'arrête, il reste 3/16
zx3:2x3:8
z s'arrête en a3, il doit être divisé par 32, soit 2/32 s'arrêtent, il reste 4/32
zx3:2x3:2x3:8
zx3:2x3:4x3:4
z s'arrête en a4, il doit être divisé par 128, soit 3/128 s'arrêtent, il reste 13/128
zx3:2x3:2x3:2x3:16
zx3:2x3:4x3:2x3:8
zx3:2x3:2x3:4x3:8
z s'arrête en a5, il doit être divisé par 256, soit 7/256 s'arrêtent, il reste 19/256
zx3:2x3:2x3:2x3:2x3:16
zx3:2x3:4x3:2x3:2x3:8
zx3:2x3:2x3:4x3:2x3:8
zx3:2x3:2x3:2x3:4x3:8
zx3:2x3:4x3:2x3:4x3:4
zx3:2x3:2x3:4x3:4x3:4
zx3:2x3:2x3:2x3:8x3:4
z s'arrête en a6, il doit être divisé par 1024 soit 12/1024 s'arrêtent, il reste 64/1024
zx3:2x3:2x3:2x3:2x3:2x3:32
zx3:2x3:4x3:2x3:2x3:2x3:16
zx3:2x3:2x3:4x3:2x3:2x3:16
zx3:2x3:2x3:2x3:4x3:2x3:16
zx3:2x3:2x3:2x3:2x3:4x3:16
zx3:2x3:4x3:2x3:4x3:2x3:8
zx3:2x3:4x3:2x3:2x3:4x3:8
zx3:2x3:2x3:4x3:4x3:2x3:8
zx3:2x3:2x3:4x3:2x3:4x3:8
zx3:2x3:2x3:2x3:4x3:4x3:8
zx3:2x3:2x3:2x3:8x3:2x3:8
zx3:2x3:2x3:2x3:2x3:8x3:8
on pourrait continuer, mais l'intérêt c'est que pour certaines valeur de a les fractions sont prévisibles grâce à une formule.
ligne 1--------a0--------il reste 1/2
------2--------a1-----------------1/4
------3--------a3-----------------4/32-------------------fraction simplifiée 1/8
------4--------a6-----------------64/1024------------------------------------1/16
------5--------a10----------------2048/65536-------------------------------1/32 ...etc
exemple pour a10, 65536 est la puissance de 2 immédiatement supérieure à 3 puissance 10, 2048/65536=1/32, 32 est égal à 2 puissance 5 (numéro de ligne), 10(a10) est égal à 5x(5-1):2, numéro de ligne par numéro précédent divisé par 2.
Comme le désordre ou l'incertitude est toujours contenu dans un espace fini, on peut considérer les fractions simplifiés comme exactes sur l'infini, inutile ici puisque j'ai calculer les fractions exactes.
exemple 64 sur 1024 cette fraction est exacte, pour 1024 nombres peu importe lesquels, du moment qu'ils soient consécutifs, si je connais ces 64 nombres, en ajoutant 1024 à chacun d'eux je connaitrai les 64 de l'espace suivant, opération pouvant être recommencée à l'infini.
L'incertitude n'est pas dans l'infini mais dans le fini, si je divise 1024 en 2 parties (de 1 à 512 et de 513 à 1024) alors je peux trouver 31 dans l'une et 33 dans l'autre.
Quand le nombre d'étapes tend vers l'infini la fraction des nombres restants tend vers 0
A titre indicatif si je prend la fonction 5x+1 divisé par les puissances de 2 et de 3, je trouve en fractions simplifiées
a0, il reste 1/3
a1, il reste 1/9
a3, il reste 1/27
a6, il reste 1/81 ...etc
les nombres pairs et les multiples de 3 s'arrêtent en a0, seuls les nombres impairs non multiples de 3 sont écrits.
Attention, ici les fractions sont simplifiées il s'agit donc de moyennes même si elles sont exactes sur l'infini.

Donc je disais plutôt que d'indiquer en combien d'étapes un nombre arrive à 1, voila le genre de question que tu peux me poser (mais tu peux y répondre avec la formule)
x=[n(n+1)]:2
après x étapes combien de nombres restent-ils ? Fraction exacte et fraction simplifiée
à partir d'une fraction simplifiée, retrouver la fraction exacte et x étapes
mais ces calculs, même si tous les nombres sont exacts, demandent l'aide de l'ordinateur par exemple pour n=853 ou pour le dénominateur de la fraction simplifiée
2 puissance 1412
exemple quand tu as n tu trouves x puis tu trouves 3 puissance x puis la puissance de deux immédiatement supérieure, avec x tu trouves le numéro de ligne puis avec le numéro de ligne la fraction simplifiée qui te permet de trouver la fraction exacte.
Autre solution faire la liste par exemple de ligne 1 à ligne 1000
Prochain chapitre analyse de 3x-1
@+

Dernière modification par titus (01-12-2008 22:39:11)

titus

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Re : Conjecture de Syracuse : discussion ouverte par Titus

Analyse de 3x-1

-1 n'est pas une puissance de 3, il va y avoir des boucles (très peu) à cause du décalage, les boucles sont toujours au début, moins de cent.
en 1, repérer les boucles
en 2, les supprimer par un artifice
en 3, tous les nombres étaient distribués sur ces 3 boucles, trouver la distribution

1-1
3-1
---------------------------5-7-5(5 et 7) font partie de la même boucle
7-5
9-13-19-7
11-1
13-19-7
15-11
---------------------------17-25-37-55-41-61-91-17
19-7
21-31-23-17
23-17
25-37-55-41-61-91-17
27-5
29-43-1
31-23
33-49-73-109-163-61-91-17
35-13
37-55-41-61-91-17
39-29
41-61-91-17
43-1
45-67-25
47-35
49-73-109-163-61-91-17
51-19
53-79-59-11
55-41
57-85-127-95-71-53
59-11
61-91-17
63-47
65-97-145-217-325-487-365-547-205-307-115-43
67-25
69-103-77-115-43
71-53
73-109-163-61
75-7
77-115-43
79-59
81-121-181-271-203-19
83-31
85-127-95-71
87-65
89-133-199-149-223-167-125-187-35
91-17
93-139-13
95-71
97-145-217-325-487-365-547-205-307-115-43
99-37
101-151-113-169-253-379-71

seulement 3 boucles
Pour la distribution, identique à syracuse
si je met 3x-1 et syracuse en miroir (l'ensemble des nombres de départ en miroir, la distribution n'est pas en miroir puisqu'elle se poursuit) la distribution de syracuse se poursuit dans 3x-1
exemple : pour un nombre impair x qui s'arrête en 2 étapes impaires (a2) l'espace reproductible est de 16, (écart entre deux nombres de départ qui ont un nombre d'étapes identique dans un vol en altitude) dans 3x-1 j'aurais :
93-139-13
77-115-43
61-91-17
45-67-25
29-43-1
13-19-7(3x-1)
quand vous obtenez un nombre négatif le multiplier par -1 puis désormais ajouter 16  pour retrouver par symétrie l'écart constant entre les nombres de départ (espace minimum reproductible) entre les fonctions 3x-1 et 3x+1
3-5-1
19-29-7
35-53-5(syracuse)
Ou deuxième solution poursuivre 3x-1 dans l'ensemble négatif, on obtient alors la fonction miroir de 3x+1
moins 3, moins 5, moins 1
moins 19, moins 29, moins 7
moins 35, moins 53, moins 5 ...etc
Dire que 3x+1 est bonne et 3x-1 est fausse est une erreur.
Il faut dire 3x+1 est bonne dans l'ensemble des entiers positifs et 3x-1 est bonne dans l'ensemble des entiers négatifs, cette dernière donne toujours -1 (pour x négatif)
Il suffit de poser 5 donne 1 et 17 donne 1 pour que 3x-1 donne toujours 1 avec la distribution de syracuse dans l'ensemble des entiers positifs.
La distribution des vols en altitude de 3x-1 est la même que 3x+1 sauf qu'alors 5 et 17 ne s'arrêtent jamais et que les nombres se distribuent sur 3 boucles d'où l'intérêt du premier chapitre : prouver qu'il n'y pas de boucles, ou si il y en a déterminer leur nombre et le prouver, je n'en parlerais pas ici pour ne pas surcharger. D'ailleurs dans la conjecture de syracuse il n'est fait allusion que de l'ensemble positif.
Rappel des boucles pour la partie positive de syracuse.
Tous les nombres impairs ont une infinité d'antécédents pairs différents.
les antécédents pairs de 5 sont différents des antécédents pairs de 7
il existe au moins un nombre pair entre deux nombres impairs
quels sont les nombres pairs qui diminué de l'unité sont divisibles par 3
exemple pour 7
7
14
28-9
56
112-37
224
448-149...etc
les antécédents impairs de 7 sont 9, 37, 149 ...etc avec une infinité de 4x+1 avec x impair ( chacun étant le 4x+1 du précédent ) et un seul antécédent en 4x+3 ou 4x+1 avec x pair suivant qu'il est divisible par 2 ou par 4
ceci étant démontré et sachant que l'équation 3x+1 divisé par une puissance de 2 et donnant x n'admet qu'une solution (x=1) est-il possible de trouver une autre boucle dans syracuse ?
impossible, prenez une chaine, peu importe la longueur, tronquez la, peu importe l'endroit, mettre un nombre déjà sorti en amont, condition nécessaire pour avoir une boucle, ce nombre alors aura au moins deux antécédents qui ne seront pas des 4x+1 avec x impair.
exemple avec 9-7-11-17-13 arrêtée à 13, je met 7 nombre sorti en amont
9-7-11-17-13-7
13 est le 4x+1 de 3, donc 3 devrait aussi donner 7, or 9 donne 7
7 a donc 2 antécédents qui ne sont pas des 4x+1 avec x impair, or ceci est impossible, en contradiction avec la partie démontrée.

@+

Dernière modification par titus (02-12-2008 16:41:04)

yoshi

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Re : Conjecture de Syracuse : discussion ouverte par Titus

Bonjour,

Je démarre l'étude de ton truc. Pas la peine d'essayer de gaver les oies, hein ... ? Ca ne servirait à rien.

(...)un nombre de départ qui donne un nombre plus petit en étant passé une fois par la fonction sera considéré comme arrêté en a1, 1 étant le nombre d'itérations par lesquelles il a dû passer (étapes impairs).

Quelle fonction ? [tex]f(x)={3x+1 \over 2}[/tex] ou la tienne : [tex]f(x)=\frac{3x+1}{2^n}[/tex] qui permet à partir de x impair d'obtenir le premier  y=f(x) impair inférieur à x suivant ?
Parce qu'avec x impair, f(x) est pair et toujours supérieur à x...

D'autre part, qu'est-ce que tu entends par "étapes impairs"
L'adjectif impairs se rapporte-t-il au nom étapes ? Dans ce cas, ce serait impaires. Mais alors qu'est-ce que sont des "étapes impaires" ?

Je vais tâcher de digérer ton pensum, mais je veux le faire pas à pas en étant sûr d'avoir pigé avant d'aborder l'étape suivante.

@+

titus

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Re : Conjecture de Syracuse : discussion ouverte par Titus

Bonjour.
Je ne reviens pas sur le chapitre des boucles considéré comme prouvé et sûr.
Si la relation entre 3x-1 dans l'ensemble des entiers négatifs et 3x+1 dans l'ensemble des entiers positifs peut être trouvée par les méthodes de Gauss, il fallait plutôt noter que 3x-1 dans l'ensemble des entiers positifs semblait chaotique alors qu'il n'y avait que 2 boucles supplémentaires.
Lorsque je parle d'étapes impaires, j'occulte les nombres pairs, exemple :
7-11-17-13-5, 7 donne 5 en 4 étapes impaires
7-22-11-34-17-52-26-13-40-20-10-5, 7 donne 5 en 11 étapes.
Lorsque je parle de 3x+1, c'est la fonction compressée, celle qui a un élément de départ impair associe une image impaire. 7 a pour image 11, 11 a pour image 17...etc
La conjecture demande si tous les nombres vont vers 1, indépendamment de la durée de vol.
Un nombre pair finit toujours par donner un nombre impair en un nombre fini d'étapes donc si un nombre de départ impair donne 1 en un nombre  x fini d'étapes impaires, alors rajouter à ce nombre x un nombre fini de nombres finis ne change pas le résultat donc ici pas de paradoxe de Bertrand.
Résumé : une durée de vol finie en ne comptant que les nombres impairs reste finie si on compte les nombres impairs et les nombres pairs.
Pour mieux comprendre la distribution, rien ne vaut un tableau.
1-1
2
3-5-1
4
5-1
6
7-11-17-13-5
8
9-7
10
11-17-13-5
12
13-5
14
15-23-35-53-5
16
17-13
18
19-29-11
20
21-1
22
23-35-53-5
24
25-19
26
27-41-31-47-71-107-161-121-91-137-103-155-233-175.................23
28
29-11
le nombre d'étapes correspond au nombre de fois ou le nombre de départ doit passer par l'itération 3x+1 avant de donner un nombre inférieur
30
31-47-71-107-161-121-91-137-103-155-233-175-263-395-593-445-167----------23
32
les nombres pairs s'arrêtent en a0, dans un espace de deux reproductible,1 sur 2 s'arrête, il en reste 1 sur 2
en a1 les 4x+1 s'arrêtent, dans un espace de 4 reproductible,1 sur 4 s'arrête, il en reste 1 sur 4
en a3( a2+a3),  espace de 32 reproductible 4 sur 32 s'arrête, il en reste 4 sur 32
en a6(a4+a5+a6)
en a10(a7+a8+a9+a10)
l'espace reproductible (dénominateur) est toujours la puissance de 2 immédiatement supérieure à la puissance de 3, liste donnée plus bas, le reste, numérateur, les 2 fractions sont identiques.
a0, 3 puissance 0, 1, 2 (espace reproductible) fraction simplifiée 1/2, il reste 1 sur 2
a1, 3 puissance 1, 3, 4 (es.rep.) f.s. 1/4, il reste 1 sur 4
a3, 3 puissance 3, 27, 32 (es.rep.) f.s. 1/8, il reste 4 sur 32
a6, 729, 1024 (es.rep.) f.s. 1/16, il reste 64 sur 1024
a10, 59049, 65536 (es.rep.) f.s. 1/32, il reste 2048 sur 65536
a15, 14348907, 16777216 (es.rep.) f.s. 1/64, il en reste 262144 sur 16777216...etc

@+

Dernière modification par titus (07-12-2008 19:39:28)

yoshi

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Re : Conjecture de Syracuse : discussion ouverte par Titus

Re,

Je t'ai dit : Ne gave pas les oies !...
La pertinence de tes assertions ne se mesure pas à l'aune de la longueur de tes posts...
J'ai posé une simple question, je ne voulais pas une digression pareille !
J'ai dit

Quelle fonction [tex]f(x)={3x+1 \over 2}[/tex] ?  ou la tienne [tex]f(x)={3x+1 \over 2^n[/tex]  qui permet à partir de x impair d'obtenir le premier  y=f(x) impair inférieur à x suivant ?

Il me semblait qu'il était simple d'y répondre en peu de mots.
Pour impairs, ok, tu as répondu.

Par contre, je vois que tu écris :

Je ne reviens pas sur le chapitre des boucles considéré comme prouvé et sûr.

De quoi parles-tu là ? Personnellement, je ne crois pas avoir pour l'instant validé un pouce de ta théorie si ce n'est que l'on peut se permettre dans la longue suite des "descendants" d'un nombre impair, de "zapper" les descendants pairs ou ne pas démarrer d'un nombre pair...

Tu écris encore :

le nombre d'étapes correspond au nombre de fois ou le nombre de départ doit passer par l'itération 3x+1 avant de donner un nombre inférieur

Là, je ne te suis plus : la suite [tex]U_n=3U_{n-1}+1[/tex] est croissante et ne donnera jamais de nombres inférieurs.
Au cas, bien improbable; où tu contesterais cette assertion :
[tex]U_n=3U_{n-1}+1[/tex]
[tex]U_n-U_{n-1}=2U_{n-1}+1[/tex] Et comme [tex]U_{n-1}>0[/tex] :
[tex]U_n-U_{n-1}>0[/tex]

Si tu écris [tex]U_n=3U_{n-1}+1[/tex] en lieu et place de  [tex]Un=\frac{3U_{n-1}+1}{2}[/tex] voire de  [tex]U_n=\frac{3U_{n-1}+1}{2^n}[/tex] ça ne peut pas faire...

Je t'ai prévenu : je suis un teigneux et, autant de fois que nécessaire, je ferai selon la formule de Lénine (?) "un pas  en avant et deux pas en arrière"... :-)

A toi de montrer que ton cas est différent de celui de la petite poignée de "génies (autodidactes) méconnus" qui sont passés par ce forum... ;-)

@+

titus

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Re : Conjecture de Syracuse : discussion ouverte par Titus

Bonjour.
Dois-je recommencer le chapitre des boucles ?

@+

yoshi

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Re : Conjecture de Syracuse : discussion ouverte par Titus

Bonjour,

1. Pas forcément, si je sais ce que tu appelles le "chapitre des boucles"...
Si tu l'as déjà traité, je dois pouvoir remonter jusqu'à lui et revérifier de quoi tu parles...
Le fait que s'il y a convergence, ce ne peut être que vers 1 et rien d'autre : dans ce cas, tu avais écrit un peu plus haut : << Ah ! Je vois que tu sautes le chapitre boucles, pour passer directement à celui de la distribution ! >>.
C'est à cela que tu fais allusion ? Dans ce cas, admettons que ce soit prouvé.

2. Jai écrit :

Tu écris encore :

le nombre d'étapes correspond au nombre de fois ou le nombre de départ doit passer par l'itération 3x+1 avant de donner un nombre inférieur

Là, je ne te suis plus : la suite [tex]U_n=3U_{n-1}+1[/tex] est croissante et ne donnera jamais de nombres inférieurs.
Dans ton "tableau", où est le nombre d'étapes le nombre de départ ?

Si tu écris [tex]U_n=3U_{n-1}+1[/tex] en lieu et place de  [tex]Un=\frac{3U_{n-1}+1}{2}[/tex] voire de  [tex]U_n=\frac{3U_{n-1}+1}{2^n}[/tex] ça ne peut pas faire...

Alors ?

@+

titus

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Re : Conjecture de Syracuse : discussion ouverte par Titus

Bonjour.
[tex]\frac{3x+1}{{2}^{n}}[/tex]
C'est l'unique fonction que j'utilise, appelons la s(x)
s(17)=13
s(13)=5      13 donne 5 en une étape impair (en ne comptant que les nombres impairs)
s(13)=40-20-10-5, 13 donne 5 en 4 étapes (en comptant les résultats intermédiaires)
17-13-5      17 donne 5 en deux étapes impairs, il passe deux fois par s(x)
Désormais je ne parlerais d'étapes impairs mais d'étapes
Dans le tableau, 6 donne un nombre inférieur en 0 étape, il passe 0 fois par s(x)
5 donne un nombre inférieur en 1 étape, il passe 1 fois par s(x)
Dans le tableau le nombre de départ est le premier de chaque ligne.

@+

Dernière modification par titus (04-12-2008 21:05:34)

yoshi

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Re : Conjecture de Syracuse : discussion ouverte par Titus

Bonsoir Titus,

Ah, enfin ! Je vais pouvoir avancer !
Les nuées se dissipent et ma frustration en même temps : j'ai une sainte horreur de ne pas comprendre...
Je me penche sur tes fractions et tes restes.

@+

PS
Je vois que soit tu as goûté au Code LaTeX pur et dur, soit tu es passé par l'interface "Insérer une Equation" mise au point par Fred...

titus

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Re : Conjecture de Syracuse : discussion ouverte par Titus

Bonjour.
Je suis passé par "insérer une équation" bien sûr.

@+

yoshi

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Re : Conjecture de Syracuse : discussion ouverte par Titus

Bonjour,

Donc, si j'ai bien compris, 19 s'arrête (selon ta formulation) en a2 : il y 2 nombres impairs qui précèdent 11 (ou 2 utilisations de 3x+1 pour arriver à 11).
19 --> 29 --> (44) --> (22) --> 11.
A ce moment, tu prends tu prends le 2, tu fais 3² = 9 et comme [tex]2^4=16[/tex] est la puissance de 2 immédiatement supérieure à 9, tu en déduis qu'au total il y a eu 4 divisions par 2..
C'est bien ça ?

Ce que j'appelle le reste correspond à la fraction des nombres qui après x étapes sont plus élevés  que leur nombre de départ. Soit z le nombre de départ.
z s'arrête en a2, il doit être divisé par 16, soit 1/16 s'arrête, il reste 3/16
zx3:2x3:8

Que représente ce symbole ":" (deux points) ?
Bon, jusqu'à "divisé par 16", je te suis...
Pourquoi "1/16" s'arrête ? Pourquoi 1 ?
Pourquoi "il reste 3/16" ? Pourquoi 3 ?

z s'arrête en a5, il doit être divisé par 256, soit 7/256 s'arrêtent, il reste 19/256

Mêmes questions : comment obtiens-tu 7 et 19 ?

@+

titus

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Re : Conjecture de Syracuse : discussion ouverte par Titus

Bonjour.
Oui pour la première partie.
":" signifie diviser par
Sur 16 nombres consécutifs, 8 se sont arrêtés en a0 (les nombres pairs), il en reste 8, 4 se sont arrêtés en a1, il en reste 4 (les 4x+1), en a2 un nombre sur 16 s'arrête (une seule catégorie) donc il en reste 3 sur 16
zx3:2x3:8
z est le ou les nombres que je cherche et qui s'arrête en a2, c'est un nombre impair, les nombres pairs sont arrêtés en a0, comme il est impair je le multiplie par 3, comme je lui ajoute 1, pas noté ici il devient pair, je le divise par 2, il ne peut pas être divisé par 4 ou plus sinon il se serait  arrêté en a1, je le remultiplie par 3 puisqu'il y a 2 étapes et comme il a été multiplié par 9, il doit être divisé par 16 donc je le divise par 8. Il m'en reste 3 sur 16 ou 6 sur 32 et en a3 j'en trouve 2 sur 32 qui s'arrêtent  donc en a3 il m'en restera 4 sur 32.
En a4 il m'en reste 13 sur 128 ou 26 sur 256
7 s'arrêtent en a5 donc 7 sur 256 s'arrêtent, il en reste 19 sur 256 nombres consécutifs.

@+

yoshi

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Re : Conjecture de Syracuse : discussion ouverte par Titus

Bonjour,

Je n'ai pas lâchement déserté le combat, mais je me suis consacré à autre chose : pas d'excuse bidon du genre "j'ai pas eu le temps"..
: pour la division, ça me perturbe surtout pour la divsion avec quotient exact. J'emploie plutôt [tex]\div[/tex]..
Mais c'est un détail...

Sur 16 nombres consécutifs, 8 se sont arrêtés en a0 (les nombres pairs), il en reste 8, 4 se sont arrêtés en a1, il en reste 4 (les 4x+1), en a2 un nombre sur 16 s'arrête (une seule catégorie) donc il en reste 3 sur 16

Tu veux dire :
Sur 16 nombres z consécutifs, par exemple : 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66, que je décompose :
* 8 s'arrêtnt en a0 : les nombres pairs
* Il en reste 8 dont la décomposition n'est pas stoppée en a0 :  51 53  55  57  59  61 63  65
   Sur ces 8 nombres :
   - 4 s'arrêtent en a1 : 53 57 61 65 parce qu'ils sont multiples de 4 plus 1,
   - Il en reste encore 4 dont la décomposition continue  51 55 59 63
     Sur ces 4 nombres :
     -> un seul s'arrête en a2 : 51, pourquoi ?
     -> il en reste donc encore 3 : 55 59 et 63... Pourquoi ?
J'ai modifié légèrement mon script Python pour afficher ces résultats...
J'ai cru pendant un moment que mon premier pourquoi avait pour raison 51 = 4n+3 et non 4n+1, mais 55 = 4n+3 aussi et non 4n+1... Mauvaise raison.
Moi je peux le constater avec mon script...
Je fais bien le même constat avec les 16 nombres de 123457 à 123482...
1 seul s'arrête en a2 : 123475. Pourquoi lui ?
Maintenant c'est la généralisation qui m'intéresse..
Comment prouver qu'on a la même distribution quel que soit n > 2, entre n et n à + 15 ?...

@+

titus

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Re : Conjecture de Syracuse : discussion ouverte par Titus

Bonjour.
En a2, 1 sur 16 s'arrête, c'est un 16x+3 donc 3  19  35  51  67 ...etc s'arrêtent, 55  59  63 n'ont en commun que le fait qu'ils ne s'arrêtent pas en 2 étapes ou moins. Si j'ajoute 16 à chacun de ces nombres j'obtiens les 3 nombres qui restent après 2 étapes dans l'espace de 16 suivant, 67 à 82.
123475 s'arrête en a2 c'est un 16x+3 avec x=7717
Pour la généralisation tous les nombres peuvent être écrits sous la forme kx+n, ils ont tous un espace minimum reproductible de k.
Sur 65536 nombres consécutifs, il en reste 32768 en a0, 16384 en a1, 8192 en a3, 4096 en a6, 2048 en a10

@+

Ben3_14

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Re : Conjecture de Syracuse : discussion ouverte par Titus

Bonjour titus et yoshi.

Il me semble qu'il y a une erreur dans le raisonement de titus : Si on note t_n le "taux" de nombres entiers x qui, aprés moins de n étapes (de sa formule) donnent un résultat inférieur a x alors, montrer que t_n tend vers 0 ne prouve pas
du tout que tout entier x fini par donner (en itérant la formule) un entier inférieur à x. (le "taux" de nombres premiers entre 1 et N tend vers 0 lorsque N tend vers l'infini et cela ne prouve évidement pas qu'il n'y a pas de nombres premiers).

En fait, si on note A_k l'ensemble des nombres impairs m entre 1 et 2^k tels que, pour tout x entier SUPERIEUR OU EGAL A à 2 et congru à m modulo 2^k on ait  f(x) ou  f(f(x)) ou  ... ou f^(k-1)(x)  inférieur à x, on a  :

A_{k+1} contient au moins la réunion de A_k et de  2^k+A_k

A_2={1} car,  si  x=4k+1 avec  k>0  alors  f(x) = (3x+1)/2^? = (3k+1)/2^?  <  x
             mais, si  x=4k+3 avec k>=0 alors  f(x) = (3x+1)/2^? = 6k+5           >  x

A_3={1, 5=4+1} car f(f(8k+3)) = f(12k+5) = (36k+16)/2^? = (9k+4)/2^? qui est des fois >8k+3  (si k impair)
                          et  f(f(8k+7)) = f(12k+11) = (36k+34)/2^? = 18k+17 > 8k+7 

A_4={1, 3, 5, 9=8+1, 13=8+5} car
      f(f(16k+3)) = (18k+4)/2^? = 9k+2 < 16k+3
      f(f(f(16k+7))) = f(36k+17) = (108k+52)/2^? = 27k+13 > 16k+7 
      f(f(f(16k+11))) = f(18k+13) = (54k+40)/2^? = (27k+20)/2^? qui est des fois > 16k+11 (si k impair)
      f(f(f(16k+15))) = f(36k+35) = (108k+106)/2^? = 54k+53 > 16k+15

ETC... 

Il me semble que, ce que montre titus est que :
card(A_K) / card( nombres imairs entre 1 et 2^k )  tend vers 1 lorsque k tend vers l'infini.

C'est VRAI, mais cela NE PROUVE PAS que tout entier x fini par donner un nombre < x.

Pour cela, il faudrait montrer que, si on note x_k le plus petit entier impair n'appartenant pas à A_k
(i.e. x_2=3 ; x_3=3; x_4=7; ..) la suite x_k tend vers l'infini...

Amicalement

titus

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Re : Conjecture de Syracuse : discussion ouverte par Titus

Bonjour Ben 3.14
Cela fait quelques mois que je ne suis pas venu sur ce forum, je vais donc répondre avec un peu de retard.
Tu critiques ma solution en faisant une analogie avec la raréfaction des nombres premiers.
Si ces derniers tendent vers une densité de zéro ils ne l'atteignent jamais et si il est évident que cette densité est
supérieure à la densité des carrés, le calcul est moins intuitif.
Un système qui dans un espace donné (nombres consécutifs) voit sa densité successivement divisée par deux après un certain nombre d'étapes est accepté de la communauté.
L'autre système consistant à prouver chaque cas ne peut pas aboutir vu que le nombre de cas est infini.
Si cela t'intéresse je peux te démontrer qu'il n'y a pas d'autres boucles que le cycle trivial 4-2-1.
@+
Titus.

fabientoulgoat

Invité

Re : Conjecture de Syracuse : discussion ouverte par Titus

bonjour titus, es-tu allé sur ma page?
syracuse-collatz.blogspot.com
au revoir
fabien

ramon

Invité

Re : Conjecture de Syracuse : discussion ouverte par Titus

salut

fabien j ai justement poster des messages sur ton blog hier

titus je pense que ta methode n'aboutira a rien , au mieu a prouver que 99,999999...% des nombres verifie la conjecture (c deja bien , mais ça n'abouti pas forcement a quoi que ce soit), mais tu ne pourra jamais aboutir a 100% , ta methode me fait penser a une aproche empirique formaliser , en gros pour prouver que c vrai a l'infini il faudrai faire t calcul a l'infini

depuis peu je commence a penser que le probleme est indemontrable car :

pour demontrer la conjecture il "sufirai" de demontrer que pour les terme impaire en 4k+3 les vols en altitudes sont fini

or la moitier des impaire en 4k+3 abouti a un .... impaire en 4k+3 !

donc ta methode a l'air de repeter ce schema pour a chaque fois prouver que l'autre moitier est juste , ce qui reduit effectivement le volume de nombre dont il faut prouver que les vol en altitude sont fini de moitier a chaques etapes , mais ça n'aboutira jamais a 100% selon moi , si tu divise indefiniment n'importe quel nombre par 2 , tu n'obtiendra jamais 0 , il restera donc toujours des nombres (meme en nombres infime) qui resteront en attente de preuves

je sais pas si on me suis car la formulation de tidus a l'air completement differente et sur un autre sujet mais selon moi c'est le meme principe

qu'en pensez vous ?

ramon

Invité

Re : Conjecture de Syracuse : discussion ouverte par Titus

attendez en relisant mon post je viens de m'apercevoir d'un truc

un nombre impaire en 4k+3 va aboutir a un resultat qui est un nombre impaire superieur

la moitier de ces resultats vont etre de la forme 4k+3 , et donc la meme chose va se passer

est ce que ça ne prouve pas que la conjecture de syracuse est fausse ?

vu que meme si le volume des nombres qui vont faire ça est reduit de moitier a chaque fois , ça ne sera jamais 0 , ou ptet en l'infini , mais la ça devient presque philosophique , qu'est ce que l'infini ?

c'est debile ce que je dit ?

madadaïo

Invité

Re : Conjecture de Syracuse : discussion ouverte par Titus

Bonsoir,

Je voulais simplement annoncer aux amateurs de la conjecture de Syracuse qu'il semblerait qu'elle soit résolue. En fait, elle s'avère être exacte pour tout entier x supérieure ou égale à 1. Comme ce sont les vacances, la publication de la démonstration sera reportée à la rentrée, au mois d'octobre ou de ovembre, dans un journal scientifique qui acceptera de l'éditer et qui est relativement lu par de nombreux professeurs de mathématiques. La démonstration est subtile mais pas incroyablement indéchiffrable. Une fois qu'on sait comment le faire, elle s'écrit tout seul. Un autre fait est de démontrer que le problème 3x + 1 est le seul algorithme qui conduit au nombre 1, quel que soit le nombre entier x de départ. Cela, je n'ai pas encore réussi à le démontrer mais je ne désespère pas que d'ici trois ou quatre mois, j'en vienne également à bout.

Allez, bien le bonsoir et relayez l'info ou le scoop, car quand la démonstration sortira dans quelques mois, vous pourrez dire que vous étiez les premiers à le savoir. Bonnes vacances.