limite d'une suite [Résolu]

Anne-Sophie Sievers · 22-11-2008 19:27:30

Bonjour, voici mon problème :
f est définie sur [tex]\mathbb{R}\; avec\; f(x)=x-x [/tex] 2
on a montré que pour tout n,
(u ) avec u [tex][/tex] 0 [tex]\in [/tex]

Anne-Sophie Sievers · 22-11-2008 19:28:56

excusez-moi je l'ai envoyé par erreur...
De plus je crois que j'ai un petit problème pour l'écrire.
la suite arrive tout de suite

Anne-Sophie Sievers · 22-11-2008 19:44:52

une suite U dont le premier terme appartient à l'intervalle fermé [0,1] et telle que Un+1 = f(Un)
on a montré que pour tout n, 0<Un< [tex]\frac{1}{n+1}[/tex]
et Vn=nUn est croissante et admet une limite l [tex]\in [/tex] ]0,1]
On a aussi montré que la suite Wn = n(V(n+1) -Vn) admettait une limite.
Par ailleurs, on a une suite Tn telle que :
[tex]\exists\, a\,\in\mathbb{R}[/tex] positif, tel que, à partir d'un certain rang on a
T(n+1) -Tn [tex]\geq [/tex] [tex]\frac{a}{n}[/tex]
on en a déduit T2n - Tn [tex]\geq [/tex] [tex]\frac{a}{2}[/tex] et que Tn tend vers l'infini.

Il faut montrer que si l différent de 1, la suite Vn vérifie les mêmes conditions que Tn puis trouver la valeur de l

Anne-Sophie Sievers · 22-11-2008 19:46:47

PS : merci d'avance de votre aide !

Anne-Sophie Sievers · 22-11-2008 19:50:51

J'arrive à peu près à montrer que Vn remplit les mêmes conditions que Tn, mais sans me servir du fait que l est différent de 1. Du coup, je pense avoir fait une erreur quelque part et en plus je n'arrive pas à trouver une valeur de l, même si je pense que ce doit être 1, autrement on aurait Tn tendant vers l'infini (donc pas de limite)

yoshi · 22-11-2008 20:13:24

Bonsoir,

Et bienvenue sur BibM@th...
Ton exercice ressemble "furieusement" à celui qui est traité ici : http://www.bibmath.net/forums/viewtopic … 213#p12213, non ?

Vas donc y jeter un coup d'oeil.

@+

Anne-Sophie Sievers · 22-11-2008 21:31:40

Oui, c'est en fait la suite de ce même exercice que je dois faire(il aurait presque manqué de piquant autrement...). Avec cette méthode on arrive bien à trouver la limite de Vn = 1, mais pas que V(n+1)-Vn est supérieur ou égal à [tex]\frac{a}{n}[/tex] .
Avez-vous une idée par hasard ? merci d'avance !

Fred · 22-11-2008 23:47:54

Salut,

Je crois que je vois, mais il faut utiliser (un peu) les résultats du message que cite Yoshi.
Tu as montré dans la question concernant [tex]w_n[/tex] que
[tex]w_n[/tex] converge vers l(1-l).

Si l est différent de 1, l(1-l) est strictement positif (l est élément de ]0,1]).
Posons a=l(1-l)/2, on a [tex]0<a<l(1-l)[/tex]

Puisque [tex](w_n)[/tex] converge vers l(1-l)>a,
il existe un entier [tex]n_0[/tex] tel que, pour n supérieur ou égal à [tex]n_0[/tex],
on a :
[tex]w_n>a[/tex]

Et, réécrivant [tex]w_n[/tex] comme [tex]n(v_{n+1}-v_n)[/tex], on en déduit
l'inégalité demandée. Ceci utilise bien sûr que l est différent de 1 pour que l(1-l)
soit strictement positif.

Donc finalement, on en déduit que [tex]l=1[/tex], car sinon on obtiendrait que
la suite [tex](v_n)[/tex] tend vers +oo, une contradiction!

Félicitations Anne-Sophie pour avoir essayé d'utiliser des équations.
As-tu utilisé directement des balises tex, ou as-tu utilisé l'éditeur d'équations.

Par ailleurs, dans quel contexte est donné cet exercice?

Fred.

Fred · 23-11-2008 16:11:42

Bonjour,

J'ai mis une version complète de l'énoncé et du corrigé de l'exercice
dans la base de données d'exercices,
rubrique "Suite" bien entendu...

Fred.

Barbichu · 23-11-2008 18:02:15

Hello, petite boulette sur le corrigé, (qui n'y est pas ci-dessus)
Question 7, on veut montrer que si [tex]l\neq 1[/tex],alors [tex]v_{n+1}-v_n \geq \frac{a}{n}[/tex].

toi-même a écrit :

Si l est différent de 1, l(1-l) est strictement positif (l est élément de ]0,1]).
Posons a=l(1-l)/2, on a [tex]0<a<l(1-l)[/tex]
Puisque [tex](w_n)[/tex] converge vers l(1-l)>a,
il existe un entier [tex]n_0[/tex] tel que, pour n supérieur ou égal à [tex]n_0[/tex],
on a :
[tex]w_n > a[/tex]

On conclut que pour n supérieur ou égal à [tex]n_0[/tex], [tex]v_{n+1}-v_n \geq \frac{a}{n}[/tex]
++

Fred · 23-11-2008 18:13:48

Merci, je vais rectifier cela!

Fred.

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