Forum de mathématiques - Bibm@th.net

ann@

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simplification d'une expression complexe [Résolu]

bonsoir,
mon professeur de maths nous a donné un corrigé d'un exercice sans nous expliquer comment on s'y prenait pour le résoudre :
(z+1)^5 = (z-1)^5  là n'est pas mon problème
on trouve  il existe k appartenant à {0,...,n-1} z=(exp(2iKpi/5)+1)/(exp(2iKpi/5)-1)
puis il est marqué que cette dernière expression est équivalente à  il existe k appartenant à {0,...,n-1}
z=-icotan(2pi/5)
Ma question est comment fait-on pour passer de l'une à l'autre?
en vous remerciant et vous souhaitant une bonne soirée

Fred

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Re : simplification d'une expression complexe [Résolu]

Bonsoir,

  Il faut utiliser les formules d'Euler.
On s'y ramène en "factorisant par l'angle moitié". Par exemple, pour le numérateur, cela donne :
[tex]\begin{array}{rcl}\exp \left(\frac{2ik\pi }{5}\right)+1&=&\exp \left(\frac{2ik\pi }{5}\right)+\exp \left(0\right)\\&=&\exp \left(\frac{ik\pi }{5}\right)\left(\exp \left(\frac{ik\pi }{5}\right)+\exp \left(\frac{-ik\pi }{5}\right)\right)\\&=&\exp \left(\frac{ik\pi}{5}\right) 2\cos(k\pi/5)[/tex]

Je te laisse faire le cas du dénominateur...

ann@

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Re : simplification d'une expression complexe [Résolu]

je vous remercie de m'avoir répondu aussi rapidement !
à bientôt probablement