Question de Probabilité: répartir des livres entre des étagères

Zebulor · 19-12-2023 09:54:11

Bonjour,
Black Jack : Et que donne ta simulation pour 3 étagères et 4 livres la probabilité d’avoir au moins une étagère vide ... environ $\dfrac {45}{81}$ ?

Bernard-maths · 19-12-2023 09:58:37

Pour voir si vous êtes révéillés :

quelle est la proba de n'avoir aucune des 5 étagères vides si elles contiennent déjà des livres ?

Black Jack · 19-12-2023 11:22:10

Bernard-maths a écrit :

Pour voir si vous êtes révéillés :
quelle est la proba de n'avoir aucune des 5 étagères vides si elles contiennent déjà des livres ?

proba = 1 (si il faut comprendre : "quelle est la proba de n'avoir aucune des 5 étagères vides si elles contiennent déjà TOUTES des livres ?"
************************

Pour info :
Algo 10 livres et 5 étagères.
et quelques résutats (à la fin) obtenus.
J'ai ajouté des mesures de la moyenne des livres dans chaque étagère (qui devrait être de 2) ... qui donne une idée sur les résultats de la fonction qui génère "aléatoirement" l'étagère où poser un livre.

Remarque, le résultat de pourcentage d'armoires vides est presque toujours 0,477..., il arrive parfois que le denier 7 soit 6 ou 8

VARIABLES
cmpt1 EST_DU_TYPE NOMBRE
et1 EST_DU_TYPE NOMBRE
et2 EST_DU_TYPE NOMBRE
et3 EST_DU_TYPE NOMBRE
et4 EST_DU_TYPE NOMBRE
et5 EST_DU_TYPE NOMBRE
h1 EST_DU_TYPE NOMBRE
l1 EST_DU_TYPE NOMBRE
l2 EST_DU_TYPE NOMBRE
l3 EST_DU_TYPE NOMBRE
l4 EST_DU_TYPE NOMBRE
l5 EST_DU_TYPE NOMBRE
total EST_DU_TYPE NOMBRE
i EST_DU_TYPE NOMBRE
j EST_DU_TYPE NOMBRE
test EST_DU_TYPE NOMBRE
DEBUT_ALGORITHME
et1 PREND_LA_VALEUR 0
et2 PREND_LA_VALEUR 0
et3 PREND_LA_VALEUR 0
et4 PREND_LA_VALEUR 0
et5 PREND_LA_VALEUR 0
l1 PREND_LA_VALEUR 0
l2 PREND_LA_VALEUR 0
l3 PREND_LA_VALEUR 0
l4 PREND_LA_VALEUR 0
l5 PREND_LA_VALEUR 0
cmpt1 PREND_LA_VALEUR 0
test PREND_LA_VALEUR 0
POUR i ALLANT_DE 1 A 50000
DEBUT_POUR
POUR j ALLANT_DE 1 A 10
DEBUT_POUR
h1 PREND_LA_VALEUR ALGOBOX_ALEA_ENT(1,5)
SI (h1==1) ALORS
DEBUT_SI
l1 PREND_LA_VALEUR l1+1
et1 PREND_LA_VALEUR et1 + 1
FIN_SI
SI (h1==2) ALORS
DEBUT_SI
l2 PREND_LA_VALEUR l2+1
et2 PREND_LA_VALEUR et2 + 1
FIN_SI
SI (h1==3) ALORS
DEBUT_SI
l3 PREND_LA_VALEUR l3+1
et3 PREND_LA_VALEUR et3 + 1
FIN_SI
SI (h1==4) ALORS
DEBUT_SI
l4 PREND_LA_VALEUR l4+1
et4 PREND_LA_VALEUR et4 + 1
FIN_SI
SI (h1==5) ALORS
DEBUT_SI
l5 PREND_LA_VALEUR l5+1
et5 PREND_LA_VALEUR et5 + 1
FIN_SI
FIN_POUR
test PREND_LA_VALEUR 0
SI (l1*l2*l3*l4*l5==0) ALORS
DEBUT_SI
test PREND_LA_VALEUR 1
FIN_SI
l1 PREND_LA_VALEUR 0
l2 PREND_LA_VALEUR 0
l3 PREND_LA_VALEUR 0
l4 PREND_LA_VALEUR 0
l5 PREND_LA_VALEUR 0
SI (test==1) ALORS
DEBUT_SI
cmpt1 PREND_LA_VALEUR cmpt1+1
FIN_SI
FIN_POUR
AFFICHER "Proportion de cas avec etagere(s) vide(s) : "
AFFICHERCALCUL* cmpt1/50000
AFFICHER "moyenne de livres sur étagère 1 : "
AFFICHERCALCUL* et1/50000
AFFICHER "moyenne de livres sur étagère 2 : "
AFFICHERCALCUL* et2/50000
AFFICHER "moyenne de livres sur étagère 3 : "
AFFICHERCALCUL* et3/50000
AFFICHER "moyenne de livres sur étagère 4 : "
AFFICHERCALCUL* et4/50000
AFFICHER "moyenne de livres sur étagère 5 : "
AFFICHERCALCUL* et5/50000
FIN_ALGORITHME
****************************************

***Algorithme lancé***
Proportion de cas avec etagere(s) vide(s) : 0.47748
moyenne de livres sur étagère 1 : 1.99198
moyenne de livres sur étagère 2 : 1.99424
moyenne de livres sur étagère 3 : 2.0052
moyenne de livres sur étagère 4 : 2.00076
moyenne de livres sur étagère 5 : 2.00782

***Algorithme terminé***
************************************************
***Algorithme lancé***
Proportion de cas avec etagere(s) vide(s) : 0.47754
moyenne de livres sur étagère 1 : 2.00018
moyenne de livres sur étagère 2 : 2.00338
moyenne de livres sur étagère 3 : 2.002
moyenne de livres sur étagère 4 : 1.99712
moyenne de livres sur étagère 5 : 1.99732

***Algorithme terminé***
************************************************
***Algorithme lancé***
Proportion de cas avec etagere(s) vide(s) : 0.47794
moyenne de livres sur étagère 1 : 2.0037
moyenne de livres sur étagère 2 : 1.99778
moyenne de livres sur étagère 3 : 2.00164
moyenne de livres sur étagère 4 : 1.99142
moyenne de livres sur étagère 5 : 2.00546

***Algorithme terminé***
************************************************

Black Jack · 19-12-2023 11:58:18

Zebulor a écrit :

Bonjour,
Black Jack : Et que donne ta simulation pour 3 étagères et 4 livres la probabilité d’avoir au moins une étagère vide ... environ $\dfrac {45}{81}$ ?

Bonjour,

Voila les résultats :

***Algorithme lancé***
Proportion de cas avec etagere(s) vide(s) : 0.55598
moyenne de livres sur étagère 1 : 1.33338
moyenne de livres sur étagère 2 : 1.33906
moyenne de livres sur étagère 3 : 1.32756

***Algorithme terminé***

45/81 = 0,555555...

La simulation donne : 0,55598 (plusieurs essais (une dizaine) ont donné des résultats dans [0,55158 , 0,55774])

yoshi · 19-12-2023 13:44:12

Bonjour,

Traduction (du script AlgoBox de Black Jack version 10 livres et 5 étagères) en Python et résultats :

importrandom
fromrandomimport randint

for n in range(1,11):

    et1,et2,et3,et4,et5,l1,l2,l3,l4,l5,cmpt1,test=0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0

    for i in range(1,50001):

        test=0

        for j in range(1,11):

            h1=randint(1,5)

            if h1==1:

                l1+=1

                et1+=1

            elif h1==2:

                l2+=1

                et2+=1         

            elif h1==3:

                l3+=1

                et3+=1

            elif h1==4:

                l4+=1

                et4+=1

            else:

                l5+=1

                et5+=1

        if l1*l2*l3*l4*l5==0:

            test=1

        l1,l2,l3,l5,l5=0,0,0,0,0

        if test==1:

            cmpt1+=1

    print("*************** Essai n°",n,"*****************")

    print("Proportion de cas avec étagère(s) vide(s) :",cmpt1/50000)

    print("Nombre moyen de livres sur étagère 1 :",et1/50000)

    print("Nombre moyen de livres sur étagère 2 :",et2/50000)

    print("Nombre moyen de livres sur étagère 3 :",et3/50000)

    print("Nombre moyen de livres sur étagère 4 :",et4/50000)

    print("Nombre moyen de livres sur étagère 5 :",et5/50000)

    print()

Sortie :

*************** Essai n° 1 *****************
Proportion de cas avec étagère(s) vide(s) : 0.39746
Nombre moyen de livres sur étagère 1 : 1.9957
Nombre moyen de livres sur étagère 2 : 1.99776
Nombre moyen de livres sur étagère 3 : 2.00186
Nombre moyen de livres sur étagère 4 : 2.00558
Nombre moyen de livres sur étagère 5 : 1.9991
*************** Essai n° 2 *****************
Proportion de cas avec étagère(s) vide(s) : 0.39408
Nombre moyen de livres sur étagère 1 : 1.99508
Nombre moyen de livres sur étagère 2 : 2.00086
Nombre moyen de livres sur étagère 3 : 1.99954
Nombre moyen de livres sur étagère 4 : 2.00504
Nombre moyen de livres sur étagère 5 : 1.99948
*************** Essai n° 3 *****************
Proportion de cas avec étagère(s) vide(s) : 0.39108
Nombre moyen de livres sur étagère 1 : 2.0042
Nombre moyen de livres sur étagère 2 : 1.9972
Nombre moyen de livres sur étagère 3 : 2.00224
Nombre moyen de livres sur étagère 4 : 2.0061
Nombre moyen de livres sur étagère 5 : 1.99026
*************** Essai n° 4 *****************
Proportion de cas avec étagère(s) vide(s) : 0.39796
Nombre moyen de livres sur étagère 1 : 2.0012
Nombre moyen de livres sur étagère 2 : 1.99042
Nombre moyen de livres sur étagère 3 : 1.9993
Nombre moyen de livres sur étagère 4 : 2.00812
Nombre moyen de livres sur étagère 5 : 2.00096
*************** Essai n° 5 *****************
Proportion de cas avec étagère(s) vide(s) : 0.39442
Nombre moyen de livres sur étagère 1 : 1.99732
Nombre moyen de livres sur étagère 2 : 1.99198
Nombre moyen de livres sur étagère 3 : 2.00246
Nombre moyen de livres sur étagère 4 : 2.00468
Nombre moyen de livres sur étagère 5 : 2.00356
*************** Essai n° 6 *****************
Proportion de cas avec étagère(s) vide(s) : 0.38838
Nombre moyen de livres sur étagère 1 : 1.99036
Nombre moyen de livres sur étagère 2 : 2.00176
Nombre moyen de livres sur étagère 3 : 2.00742
Nombre moyen de livres sur étagère 4 : 1.98964
Nombre moyen de livres sur étagère 5 : 2.01082
*************** Essai n° 7 *****************
Proportion de cas avec étagère(s) vide(s) : 0.39254
Nombre moyen de livres sur étagère 1 : 1.98656
Nombre moyen de livres sur étagère 2 : 2.00164
Nombre moyen de livres sur étagère 3 : 2.00406
Nombre moyen de livres sur étagère 4 : 2.0032
Nombre moyen de livres sur étagère 5 : 2.00454
*************** Essai n° 8 *****************
Proportion de cas avec étagère(s) vide(s) : 0.3926
Nombre moyen de livres sur étagère 1 : 2.0059
Nombre moyen de livres sur étagère 2 : 1.9976
Nombre moyen de livres sur étagère 3 : 2.00664
Nombre moyen de livres sur étagère 4 : 1.99224
Nombre moyen de livres sur étagère 5 : 1.99762
*************** Essai n° 9 *****************
Proportion de cas avec étagère(s) vide(s) : 0.39604
Nombre moyen de livres sur étagère 1 : 1.998
Nombre moyen de livres sur étagère 2 : 2.00508
Nombre moyen de livres sur étagère 3 : 2.0012
Nombre moyen de livres sur étagère 4 : 1.99208
Nombre moyen de livres sur étagère 5 : 2.00364
*************** Essai n° 10 *****************
Proportion de cas avec étagère(s) vide(s) : 0.3989
Nombre moyen de livres sur étagère 1 : 1.99448
Nombre moyen de livres sur étagère 2 : 1.99916
Nombre moyen de livres sur étagère 3 : 1.99944
Nombre moyen de livres sur étagère 4 : 1.99484
Nombre moyen de livres sur étagère 5 : 2.01208

@+

Dernière modification par yoshi (19-12-2023 14:01:45)

Black Jack · 19-12-2023 14:19:18

Bonjour,

Il y a un souci quelque part ... puisque ce programme donne des résultats tournant autour de 0,39... alors que algobox donne des résultats tournant autour de 0,477...

yoshi · 19-12-2023 14:23:06

Re,

C'est possible, même habitué à Algobox, parce que j'ai eu un mal de chien à traduire tant Algobox est "verbeux"...

L'écriture en Python (à mon sens) étant bien plus lisible, essaie de voir...
S'il y a erreur elle doit être dans l'indentation.
En python pas de then après if condition.
la ligne se termine avec deux points et la ligne suivante est indentée de 4 caractères (On peut faire plus ou moins mais la recommandation est 4.
Je n'aurais pas le temps avant ce soir de recontrôler, moi.

@+

101bendri.samad · 19-12-2023 14:27:32

Je réctifie ma réponse au raisonnement de Bernard-maths de la page 1:
Je pense que son raisonnement contient une erreur .
Erreur liée à des probabilités conditionnelles .
Je m’explique:
On pose $B_i$ l’évènement : " ne pas mettre aucun livre sur l’étagère i ” . (i variant de 1 à 5).
Et $ B$ l’évènement : ” elle existe une étagère où il n’ya aucun livres ”.
L’évènement dont on cherche la probabilité c’est : $\overline{B}$ l’évènement contraire de B.
Je suis d’accord que la probabilité de tous les $B_i$ est égale à : $ \displaystyle \left(\frac{4}{5} \right)^{10}$.

On a évidemment : $\displaystyle B = \bigcup_{i=1}^5 B_i$ mais le problème c’est que les $B_i$ ne sont pas disjoints deux à deux puisque ils existent des possibilités où deux étagères différentes sont vides .
Donc on n’a pas le droit de d’écrire: $ \displaystyle p(B) = \sum_{i=1}^5 p(B_i)$ donc :
l’égalité: $p(B)=5×(0,8)^{10}$ est fausse.

Pour remédier à ce problème il est inévitable d’utiliser : La formule du crible : à savoir :
$ \displaystyle \color{blue}{ p \left( \bigcup_{i=1}^n A_i \right)= \sum_{I \subset \{ 1,2,...,n\}}
(-1)^{card(I)-1} p\left( \bigcap_{i \in I} A_i \right) }$

Est ce que j’ai raison?

Bernard-maths · 19-12-2023 14:52:19

Bonjour !

Il faut faire les calculs ! Et voir le résultat !

Bon courage, j'attends ...

bernard-maths

Black Jack · 19-12-2023 15:14:22

yoshi a écrit :

Re,
C'est possible, même habitué à Algobox, parce que j'ai eu un mal de chien à traduire tant Algobox est "verbeux"...
Je n'aurais pas le temps avant ce soir de recontrôler, moi.
@+

Voila, problème corrigé sur le Python:

import random

from random import randint

for n in range(1,11):

    et1,et2,et3,et4,et5,l1,l2,l3,l4,l5,cmpt1,test=0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0

    for i in range(1,50001):

        test=0

        for j in range(1,11):

            h1=randint(1,5)

            if h1==1:

                l1+=1

                et1+=1

            elif h1==2:

                l2+=1

                et2+=1        

            elif h1==3:

                l3+=1

                et3+=1

            elif h1==4:

                l4+=1

                et4+=1

            else:

                l5+=1

                et5+=1

        if l1*l2*l3*l4*l5==0:

            test=1

        l1,l2,l3,l4,l5=0,0,0,0,0

        if test==1:

            cmpt1+=1

    print("*************** Essai n°",n,"*****************")

    print("Proportion de cas avec étagère(s) vide(s) :",cmpt1/50000)

    print("Nombre moyen de livres sur étagère 1 :",et1/50000)

    print("Nombre moyen de livres sur étagère 2 :",et2/50000)

    print("Nombre moyen de livres sur étagère 3 :",et3/50000)

    print("Nombre moyen de livres sur étagère 4 :",et4/50000)

    print("Nombre moyen de livres sur étagère 5 :",et5/50000)

    print()

L'erreur d'inattention était sur le reset de (l1,l2,l3,l4,l5) ... qui était faite 2 fois sur l5 et le l4 était oublié.

Dernière modification par yoshi (20-12-2023 18:39:33)

Black Jack · 19-12-2023 15:20:03

Résultats du programme Python corrigé :

*************** Essai n° 1 *****************
Proportion de cas avec étagère(s) vide(s) : 0.47412
Nombre moyen de livres sur étagère 1 : 1.99578
Nombre moyen de livres sur étagère 2 : 1.99062
Nombre moyen de livres sur étagère 3 : 2.00034
Nombre moyen de livres sur étagère 4 : 1.9979
Nombre moyen de livres sur étagère 5 : 2.01536

*************** Essai n° 2 *****************
Proportion de cas avec étagère(s) vide(s) : 0.47776
Nombre moyen de livres sur étagère 1 : 1.99666
Nombre moyen de livres sur étagère 2 : 2.00426
Nombre moyen de livres sur étagère 3 : 1.9874
Nombre moyen de livres sur étagère 4 : 2.0101
Nombre moyen de livres sur étagère 5 : 2.00158

*************** Essai n° 3 *****************
Proportion de cas avec étagère(s) vide(s) : 0.4795
Nombre moyen de livres sur étagère 1 : 1.9934
Nombre moyen de livres sur étagère 2 : 1.99298
Nombre moyen de livres sur étagère 3 : 2.0057
Nombre moyen de livres sur étagère 4 : 2.0085
Nombre moyen de livres sur étagère 5 : 1.99942

*************** Essai n° 4 *****************
Proportion de cas avec étagère(s) vide(s) : 0.47626
Nombre moyen de livres sur étagère 1 : 2.00462
Nombre moyen de livres sur étagère 2 : 1.9946
Nombre moyen de livres sur étagère 3 : 2.00122
Nombre moyen de livres sur étagère 4 : 2.00322
Nombre moyen de livres sur étagère 5 : 1.99634

*************** Essai n° 5 *****************
Proportion de cas avec étagère(s) vide(s) : 0.47756
Nombre moyen de livres sur étagère 1 : 2.00006
Nombre moyen de livres sur étagère 2 : 1.99888
Nombre moyen de livres sur étagère 3 : 2.00376
Nombre moyen de livres sur étagère 4 : 2.00174
Nombre moyen de livres sur étagère 5 : 1.99556

*************** Essai n° 6 *****************
Proportion de cas avec étagère(s) vide(s) : 0.47776
Nombre moyen de livres sur étagère 1 : 2.01094
Nombre moyen de livres sur étagère 2 : 1.99452
Nombre moyen de livres sur étagère 3 : 2.00272
Nombre moyen de livres sur étagère 4 : 1.99404
Nombre moyen de livres sur étagère 5 : 1.99778

*************** Essai n° 7 *****************
Proportion de cas avec étagère(s) vide(s) : 0.47988
Nombre moyen de livres sur étagère 1 : 1.99864
Nombre moyen de livres sur étagère 2 : 2.00386
Nombre moyen de livres sur étagère 3 : 1.99972
Nombre moyen de livres sur étagère 4 : 1.99058
Nombre moyen de livres sur étagère 5 : 2.0072

*************** Essai n° 8 *****************
Proportion de cas avec étagère(s) vide(s) : 0.47808
Nombre moyen de livres sur étagère 1 : 1.99546
Nombre moyen de livres sur étagère 2 : 2.0061
Nombre moyen de livres sur étagère 3 : 2.0006
Nombre moyen de livres sur étagère 4 : 2.00016
Nombre moyen de livres sur étagère 5 : 1.99768

*************** Essai n° 9 *****************
Proportion de cas avec étagère(s) vide(s) : 0.4793
Nombre moyen de livres sur étagère 1 : 2.00034
Nombre moyen de livres sur étagère 2 : 1.99472
Nombre moyen de livres sur étagère 3 : 1.99932
Nombre moyen de livres sur étagère 4 : 2.0053
Nombre moyen de livres sur étagère 5 : 2.00032

*************** Essai n° 10 *****************
Proportion de cas avec étagère(s) vide(s) : 0.47714
Nombre moyen de livres sur étagère 1 : 2.00808
Nombre moyen de livres sur étagère 2 : 2.00556
Nombre moyen de livres sur étagère 3 : 1.99196
Nombre moyen de livres sur étagère 4 : 1.99412
Nombre moyen de livres sur étagère 5 : 2.00028

Michel Coste · 19-12-2023 15:40:14

Bonjour,
C'est bien entendu une situation où la formule du crible de Poincaré s'impose !
Un petit code python pour faire une simulation (et où on peut régler le nombre de livres, le nombre d'étagères et le nombre de rangements aléatoires)

import random as rd

def rangement(L,E) :

    R=E*[0]

    for _ in range(L) :

        R[rd.randrange(E)]+=1

    return R

def essais(N,L,E) :

    V=0

    for _ in range(N):

        R=rangement(L,E)

        if any(l==0 for l in R) : V+=1

    prop=1-V/N

    print("Proportion de rangements de {} livres sur {} étagères\n\

n'ayant aucune étagère vide sur {} rangements : {:.3%}"\

          .format(L,E,N,prop))

Faisons le tourner 10 fois pour des échantillons de 100 000 rangements aléatoires de 10 livres sur 5 étagères :

for _ in range(10):

    essais(10**5,10,5)

Proportion de rangements de 10 livres sur 5 étagères
n'ayant aucune étagère vide sur 100000 rangements : 52.234%
Proportion de rangements de 10 livres sur 5 étagères
n'ayant aucune étagère vide sur 100000 rangements : 52.316%
Proportion de rangements de 10 livres sur 5 étagères
n'ayant aucune étagère vide sur 100000 rangements : 52.308%
Proportion de rangements de 10 livres sur 5 étagères
n'ayant aucune étagère vide sur 100000 rangements : 52.314%
Proportion de rangements de 10 livres sur 5 étagères
n'ayant aucune étagère vide sur 100000 rangements : 52.165%
Proportion de rangements de 10 livres sur 5 étagères
n'ayant aucune étagère vide sur 100000 rangements : 52.490%
Proportion de rangements de 10 livres sur 5 étagères
n'ayant aucune étagère vide sur 100000 rangements : 51.962%
Proportion de rangements de 10 livres sur 5 étagères
n'ayant aucune étagère vide sur 100000 rangements : 52.044%
Proportion de rangements de 10 livres sur 5 étagères
n'ayant aucune étagère vide sur 100000 rangements : 52.270%
Proportion de rangements de 10 livres sur 5 étagères
n'ayant aucune étagère vide sur 100000 rangements : 52.375%

Bernard-maths · 19-12-2023 17:11:38

Bonjoir !

JE fais les calculs et trouve 0,4774528 ! Bravo, cela corrobore les calculs de Black Jack ...

Je dois donc faire des révisions sur des connaissances que je n'avais pas ? ... !

B-m

Michel Coste · 19-12-2023 17:38:31

Compter le nombre $S_{p,q}$ de surjections d'un ensemble à $p$ éléments (ici, les 10 livres) sur un ensemble à $q$ éléments (ici, les 5 étagères) est un grand classique dans les applications de la formule du crible :
$$S_{p,q}= \sum_{k=0}^q (-1)^{q-k}\binom{q}{k} k^p\;.$$
Voir par exemple https://fr.wikiversity.org/wiki/Formule … urjections

Bernard-maths · 19-12-2023 18:00:49

Bonsoir (maintenant le j devient s) !

Merci beaucoup, je n'ai pas eu l'occasion de me frotter à cette formule ...

B-m

101bendri.samad · 19-12-2023 19:11:04

Bernard-maths a écrit :

Bonjour !
Il faut faire les calculs ! Et voir le résultat !
Bon courage, j'attends ...
bernard-maths

Bonjour
Je vous propose ce raisonnement qui s’appuie sur la formule du crible :
[tex]
\fbox{
$\displaystyle p (B)= p\left(\bigcup _{i=1}^5 B_i \right)
= \sum_{I \subset \{1,2,..5\}} (-1)^{card(I)-1} p\left(\bigcap_{i \in I}B_i\right)$.}
[/tex]
La sommation précédante se fait sur toutes les parties non vides de l’ensemble
{1,2,3,4,5}.
Pour rappel : $B_i$ c’est l’évènement : " Avoir l’étagère i vide".(on a numéroté les étagères)
Prenons par exemple une partie à 3 éléments $\{i,j,k\}$.
Donc l’évènement : $B_i \cap B_j \cap B_k$ c’est lévènement :"Avoir les étagères i et j et k vides".
Or : $p(B_i \cap B_j \cap B_k) = \left(\frac{2}{5}\right)^{10}$
Et puisque il y a $C_5^3$ parties à 3 éléments dans un ensemble à 5 éléments
Alors la somme : $ \displaystyle \sum_{\begin{array}{c} I \subset \{1,...5\} \\ card(I)=3
\end{array}}
p(\bigcap_{i \in I} B_i)$ est égale à : $C_5^3\left(\frac{2}{5}\right)^{10} $.

De la même façon on montre que :

la somme : $ \displaystyle \sum_{\begin{array}{c} I \subset \{1,...5\} \\ card(I)=2
\end{array}}
p(\bigcap_{i \in I} B_i)$ est égale : $C_5^2 (\frac{3}{5})^{10}$
la somme : $ \displaystyle \sum_{\begin{array}{c} I \subset \{1,...5\} \\ card(I)=4
\end{array}}
p(\bigcap_{i \in I} B_i)$ est égale : $C_5^4 (\frac{1}{5})^{10}$
la somme : $ \displaystyle \sum_{\begin{array}{c} I \subset \{1,...5\} \\ card(I)=1
\end{array}}
p(\bigcap_{i \in I} B_i)$ est égale : $C_5^1 (\frac{4}{5})^{10}$
la probabilité : $ \displaystyle
p(\bigcap_{ i \in \{1,2,..,5\}} B_i)$ est évidemment égale à 0 . C’est la probabilité d’Avoir 5 étagères vides.

Donc : $p(B)=(5×(\frac{4}{5})^{10})-(10×(\frac{3}{5})^{10})+(10×(\frac{2}{5})^{10})-(5×(\frac{1}{5})^{10})$.

Et finalement la probabilité qu’on recherche c’est :
$ \color{blue} {1-p(B) = 1+(5×(\frac{1}{5})^{10})-(10×(\frac{2}{5})^{10})+(10×(\frac{3}{5})^{10})-(5×(\frac{4}{5})^{10})}
$
dont une valeur approchée est : 0,5225472

Dernière modification par 101bendri.samad (22-12-2023 00:17:01)

Zebulor · 19-12-2023 19:23:49

Bonsoir,

Black Jack : Merci à toi pour cette simulation de 3 étagères et 4 livres. Je ne sais pas ce que pense syrac de tous ces développements ...

Mais tout le monde peut se tromper...

Dernière modification par Zebulor (19-12-2023 22:30:52)

yoshi · 19-12-2023 20:19:39

Bonsoir,

Merci Black Jack...
C'était une erreur toute bête ! Encore fallait-il la voir ! Et tu l'as vue...

Bravo à Michel Coste pour sa programmation si succincte !

@+

101bendri.samad · 19-12-2023 20:32:44

Bonsoir et merçi à tous

Même si la programmation n’est pas ma tasse de thé mais je constate que les
Valeurs trouvées par Michel Coste s’approchent du résultat que j’ai trouvé .

Dernière modification par yoshi (20-12-2023 18:03:17)

Black Jack · 19-12-2023 20:55:22

Bonsoir et merçi à tous
Même si la programmation n’est pas ma tasse de thé mais je constate que les
Valeurs trouvées par Michel Coste s’approchent du résultat que j’ai trouvé .

Bonjour,

Les valeurs données par mon programme sont aussi conformes à celle de Michel Coste ...

Mon programme donne la proportion des cas où on a une ou des armoires vides, soit [tex] \simeq 0,477[/tex]

Ce qui signifie que la proportion des cas où aucune étagère n'est vide est [tex] \simeq 1 - 0,477 = 0,523 [/tex]

Dernière modification par yoshi (20-12-2023 18:42:55)

101bendri.samad · 19-12-2023 21:17:44

Bonjour,

Oui vous avez raison
C’est juste par inattention que je n’ai pas remarqué votre résultat.
Je suis quasiment sûr que si vous augmentez le nombre d’essais vous trouverez
une valeur assez proche de : 0,522547
Merçi

Dernière modification par yoshi (20-12-2023 18:43:55)

Michel Coste · 19-12-2023 21:22:40

Recopier les messages précédents contribue à rendre le fil illisible.

Zebulor · 19-12-2023 23:11:09

Bonsoir,
je suis plutôt d'accord a la relecture du fil et c'est dommage car certains posts sont vraiment formateurs...

Bonne nuit

yoshi · 20-12-2023 09:33:45

Bonjour,

C'est vrai que c'est désagréable dans 99% des cas et inutile....
Souhaitez-vous que je fasse un peu de ménage lorsque cela s'impose ?

@+

Black Jack · 20-12-2023 09:40:38

Bonjour

Reste la question subsidiaire de 101bendri.samad dans son post initial, soit :
" Ce qu’on vient de faire c’est le cas où les livres sont distinguables.
Qu’en est il dans le cas où les livres sont indistinguables ? "

Cela ne modifie pas le résultat.

Si on reprend le cas facile de 3 livres et 2 étagères :

Avec les livres indistinguables , on ce tableau des cas possibles :

E1(000) et E2(111)
E1(100) et E2(011)
E1(010) et E2(101)
E1(001) et E2(110)
E1(110) et E2(001)
E1(101) et E2(010)
E1(011) et E2(100)
E1(111) et E2(000)

... qui montre qu'il y a 8 possibilités équiprobables de ranger les livres, dont 6 qui n'ont pas d'étagère vide.
Soit donc une proba de 6/8 = 3/4 qu'aucune étagère ne soit vide.
***
Avec les livres distinguables, chacun des cas ci-dessus est multiplié par 6
par exemple le cas [E1(100) et E2(011)] en indistinguables deviendrait 6 cas distinct, soit :

[E1(a00) et E2(0bc)]
[E1(a00) et E2(0cb)]
[E1(b00) et E2(0ac)]
[E1(b00) et E2(0ca)]
[E1(c00) et E2(0ab)]
[E1(c00) et E2(0ba)]

Et pareil pour chacun des 8 cas du modèle livre indistinguables.

Le nombre de rangements possibles est donc 6 fois plus grand en distinguable qu'en indistinguable ... (soit 8*6 = 48 rangements possibles)
Mais le nombre de rangements qui n'ont pas d'étagère(s) vide(s) est aussi multiplié par 6 en distinguable qu'en indistinguable (soit 6*6 = 36 rangements sans étagères vides)

Donc une proba de 36/48 = 3/4 qu'aucune étagère ne soit vide.
*************
Ce raisonnement est extensible dans le problème 5 étagères et 10 livres (et aux autres)

Dernière modification par Black Jack (20-12-2023 09:41:37)

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#26 19-12-2023 09:54:11

Re : Question de Probabilité: répartir des livres entre des étagères

#27 19-12-2023 09:58:37

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#28 19-12-2023 11:22:10

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#29 19-12-2023 11:58:18

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#33 19-12-2023 14:27:32

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#34 19-12-2023 14:52:19

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#35 19-12-2023 15:14:22

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#36 19-12-2023 15:20:03

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