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William04

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Déterminant et hyperplan

Bonjour, j’ai un petit problème sur l’exercice suivant:
[tex] \text{On considère E un K-ev de dimension n, }\ B=(e_{1},...,e_{n})\text{ une base de E}
\\
\text{et H un hyperplan de E.}
\\
\text{On pose ainsi } B_{H}= (u_{1},...,u_{n-1})\text{ une base de H}.
\\
\text{Déterminer une équation cartésienne de H dans la base B}
[/tex]
J’ai commencé par montrer que:
[tex] x\in H\Leftrightarrow \ det_{B}(u_{1},...,u_{n-1},x)=0 \text{ qui découle du fait que}
\\
x\in H= Vect[u_{1},...,u_{n-1}]
\\
\Leftrightarrow\ (u_{1},...,u_{n-1},x)\text{ est liée}
\\
\text{J'ai ensuite posé } P= P_{B,B_{H_{x}}} \text{la matrice de la famille } (u_{1},...,u_{n-1},x)
\\
\text{dans la base B . }[/tex]
J’ai développée ensuite le déterminant de P suivant la colonne n (colonne de x) cela me permet d’établir que:
[tex] x\in H\Leftrightarrow \ det_{B}(u_{1},...,u_{n-1},x)=0
\\
\Leftrightarrow det(P)=0
\Leftrightarrow \sum_{i=1}^{n} p_{i,n} \times (-1)^{i+n}\times \triangle_{i,n}(P)=0
\\
\text{où } p_{i,j}\text{ désigne le terme (i,j) de la matrice P}
\\
\triangle_{i,j}\text{ désigne le déterminant de la matrice obtenue en}
\\
\text{supprimant la ligne i et la colonne j de P}
[/tex]
La somme obtenue est-elle bien ce qui est demandé?

Dernière modification par William04 (14-05-2023 13:52:36)

Fred

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Re : Déterminant et hyperplan

Bonjour,

  Bizarre comme exercice, je ne vois pas ce que l'auteur veut obtenir à la fin.
En tout cas, ce que tu as écris n'est pas faux...
Connais-tu la formule donnant le déterminant en fonction d'une somme sur les permutations de {1,...,n}?
Parce que dans ce cas cela te donnerait une formule (moche) faisant directement intervenir les coordonnées de u_1,...,u_{n-1} dans la base B.

F.

Michel Coste

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Re : Déterminant et hyperplan

Bonjour,
J'écrirais plutôt l'équation sous la forme

[tex]\sum_{i=1}^n (-1)^i\delta_i x_i=0\;,[/tex]

où [tex]\delta_i[/tex] est le déterminant de la matrice obtenue en enlevant la [tex]i[/tex]-ème ligne de la matrice dont les colonnes sont les coordonnées des [tex]u_j[/tex] dans [tex]B[/tex].

William04

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Re : Déterminant et hyperplan

Bonjour,

  Bizarre comme exercice, je ne vois pas ce que l'auteur veut obtenir à la fin.
En tout cas, ce que tu as écris n'est pas faux...
Connais-tu la formule donnant le déterminant en fonction d'une somme sur les permutations de {1,...,n}?
Parce que dans ce cas cela te donnerait une formule (moche) faisant directement intervenir les coordonnées de u_1,...,u_{n-1} dans la base B.

F.

Non, je ne connais pas cette formule…

William04

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Re : Déterminant et hyperplan

Bonjour,
J'écrirais plutôt l'équation sous la forme

[tex]\sum_{i=1}^n (-1)^i\delta_i x_i=0\;,[/tex]

où [tex]\delta_i[/tex] est le déterminant de la matrice obtenue en enlevant la [tex]i[/tex]-ème ligne de la matrice dont les colonnes sont les coordonnées des [tex]u_j[/tex] dans [tex]B[/tex].

Bonjour, oui, je suis d’accord avec vous. Ok. Merci beaucoup pour vos retours :)[/tex]