Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bivalve

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Espaces vectoriels, dimension finie.

Bonjour, j'étais en train de regarder la correction de l'exercice 3 du lien suivant : https://www.bibmath.net/ressources/inde … &type=fexo

Pour la deuxième question, je ne comprends pas pourquoi l'hypothèse de récurrence  se porte sur "d(F) = a*p pour dim(F) = p",
et non pas tout de suite "d(F) = p pour dim(F) = p".

Je vous remercie d'avance de vos retours !

Fred

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Re : Espaces vectoriels, dimension finie.

Bonjour,

  C'est je crois à cause de l'initialisation. En effet, a priori on ne sait pas que d(F)=1 si dim(F)=1.

F.

LCTD

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Re : Espaces vectoriels, dimension finie.

Bonjour,

voici je que j'ai compris (sauf erreur de ma part):
la question est : En déduire que, pour tout F∈S, d(F)=dim(F).
init : vrai pour n=0 car  F={0} d({0} )=dim(F) (voir corrigé)

pour n=1, si d(F)=a et dim(F)=1 c'est vrai si a=1  ( cas ou p=1, d(F)=ap=ax1).
Maintenant si  dim(F) est > 1, il faut démontrer que a=1 pour tout 1<p<=n. Donc on va supposer que d(F)=ap,d'où cette hypothèse de récurrence.

Bivalve

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Re : Espaces vectoriels, dimension finie.

Merci pour vos retours , en fait j'ai fait une récurrence avec comme hypothèse de récurrence  "d(F) = p pour, dim(F) = p". Ce qui est vrai pour p = 0. J'ai donc supposé cela pour p et j'ai voulu montrer cela pour p+1. Mais j'ai appliqué cette hypothèse sur la dimension de H qui est égale à 1. Ceci est donc impossible puisque on ne sait pas si p est inférieur ou supérieur à 1 c'est ca ?

Dernière modification par Bivalve (29-04-2023 12:39:10)

Wassf

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Re : Espaces vectoriels, dimension finie.

Tu ne peux faire une récurrence sur le résultat final sans connaître la valeur de $a$.
En même temps le "on sait que $d(E)=na$" de la correction me semble un peu léger.

Si toutes les droites vectorielles ont pour image commune un certain entier $a$ (question 1), en appliquant répétitivement la propriété d'additivité de $d$ sur les sommes directes de sous-e.v. à une base $(e_1,..,e_p)$ d'un sous-e.v. $F$ de dimension $p$ :
$d(F)=d(\mathbb Ke_1\oplus ..\oplus\mathbb Ke_p)=d(\mathbb Ke_1\oplus ..\oplus\mathbb Ke_{p-1})+d(\mathbb Ke_p)$
$=d(\mathbb Ke_1\oplus ..\oplus\mathbb Ke_{p-2})+d(\mathbb Ke_{p-1})+a$
$=d(\mathbb Ke_1\oplus ..\oplus\mathbb Ke_{p-3})+d(\mathbb Ke_{p-2})+2a$
$... = pa$
toutes les sommes ci-dessus étant directes car $(e_1,..,e_p)$ est libre. Donc $d(F)=dim(F)\times a$.

En particulier pour $E$, on a $n=d(E)=na$ donc $a=1$ et $d(F)=dim(F)$.

Ainsi la deuxième propriété de $d$ peut être affaiblie à $d(E)\le n$, ou garder $d(E)=n$ mais définir $d$ de $\mathcal S$ dans $\mathbb R$ !

Dernière modification par Wassf (29-04-2023 23:23:28)

Fred

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Re : Espaces vectoriels, dimension finie.

Bonjour,

Tu ne peux faire une récurrence sur le résultat final sans connaître la valeur de $a$.
En même temps le "on sait que $d(E)=na$" de la correction me semble un peu léger.

Je ne comprends pas l'objection. On peut tout à fait faire une récurrence avec comme hypothèse de récurrence : Pour tout sous-espace vectoriel $F$ de $E$ de dimension $p$, on a $d(F)=pa$.

Et le fait que $d(E)=na$ est alors une conséquence immédiate du fait que $\dim(E)=n$ et de cette récurrence.

Ou alors j'ai raté quelque chose....

F.