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raphael.thiers

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Polynôme caractéristique d'une matrice (sur un anneau commutatif )

Bonjour,
Question basique !
Peut-on dire d'après vous
que le polynôme caractéristique de la matrice A , construit à partir des coefficients  de A dans un corps K, 
  à partir de la fonction polynomiale de K dans K,   $x\to \det( A-xI)$ (définition classique)  coïncide  exactement avec le déterminant  sur l'anneau commutatif K[X] de la matrice A-XI .

Ce qui justifierait la notation  usuelle $\chi_A(X)=\det(A-X.I)$  justement .

Ma question vient du fait qu'on ne m'a jamais présenté les choses ainsi ....

Michel Coste

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Re : Polynôme caractéristique d'une matrice (sur un anneau commutatif )

Bonjour,
Le polynôme caractéristique de la matrice carrée [tex]A[/tex] (de taille [tex]n[/tex]) est plutôt [tex]\det(XI_n-A)[/tex]. Mais ce n'est pas grave.
Le seul problème est que la fonction polynomiale associée à un polynôme ne détermine pas ce dernier quand le corps est fini. Or on veut bien un polynôme et pas une fonction polynomiale.
La définition correcte est donc le déterminant de la matrice [tex]XI_n-A[/tex] à coefficients dans l'anneau commutatif [tex]K[X][/tex], qui est bien un élément de [tex]K[X][/tex].
Quand on ne fait de l'algèbre linéaire que sur [tex]\mathbb R[/tex] ou [tex]\mathbb C[/tex], il n'y a pas de souci puisque la fonction polynomiale [tex]x\mapsto \det(xI_n-A)[/tex] détermine le polynôme [tex]\det(XI_n-A)[/tex].

raphael.thiers

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Re : Polynôme caractéristique d'une matrice (sur un anneau commutatif )

Merci Michel, c'est bien ce dont je me doutais.

Mais j'ai été troublé par le fait que je ne l'ai jamais lu explicitement dans les ouvrages universitaires consultés.

Après pour la définition au facteur  $(-1)^n$  près, je n'ai pas l'impression qu'il y ait de consensus dans la littérature.

Michel Coste

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Re : Polynôme caractéristique d'une matrice (sur un anneau commutatif )

Il y a quelques fantaisistes qui ne demandent pas au plynôme caractéristique d'être unitaire, mais c'est pourtant le choix raisonnable. ;)