Forum de mathématiques - Bibm@th.net

58amina2000

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intégrale astucieuse

Bonjour, j'ai fait une intégration par parties mais il me reste un bloc que j'ai essayé de le faire par des différente méthodes mais sans vain, s'ils vous plait j'ai besoin de la solution, merci.

[tex]\int_0^{ \frac{1}{2}}\, \frac{\ln(2x+1)}{x^{2}+1}\,dx[/tex]

Dernière modification par 58amina2000 (08-04-2023 17:25:39)

Roro

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Re : intégrale astucieuse

Bonsoir,

Il me semble qu'il n'y a pas de primitive de cette fonction qui soit exprimable à l'aide des fonctions usuelles... Tu auras beau tourner l'intégrale dans tous les sens, tu ne pourras pas trouver une primitive "simple".

Après, il est peut être possible que l'intégrale entre 0 et 1/2 soit calculable mais j'en doute. En tout cas, je ne sais pas faire.

D'ou vient cette question ? Et surtout pourquoi as-tu BESOIN de la réponse ?

Roro.

Dernière modification par Roro (08-04-2023 21:09:50)

Bernard-maths

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Re : intégrale astucieuse

Bonjour !

ET surtout, quel est l'énoncé de base ?

B-m

jjostypm

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Re : intégrale astucieuse

Bonjour

On dirait que les questions de "college-lycée" se corsent !

Si l'on demande sur Wolfram, on obtient

$ \int_0^{1/2} \frac{ln(2x+1}{x^2+1} \text{d}x  =
ln(2) \arctan\left(\frac{4}{3}\right)+ \frac{1}{2} i \left(
\text{Li}_2\left(\frac{1}{5}-\frac{2i}{5}\right) - \text{Li}_2\left(\frac{1}{5}+\frac{2i}{5}\right)
- \text{Li}_2\left(\frac{2}{5}-\frac{4i}{5}\right) + \text{Li}_2\left(\frac{2}{5}-\frac{4i}{5}\right)
\right)
\approx 0.173291
$
C'est sans doute vrai, mais tout aussi sûrement très éloigné de ce que l'on vous demande de résoudre.

Comme Roro et Bernard le suggèrent, il vaut mieux soumettre l'énoncé de base que supposer seul que l'intégrale résiduelle qui vous résiste est un passage obligé.

Cordialement
J.-J.

58amina2000

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Re : intégrale astucieuse

Bonsoir,
Pour votre question qui concerne le dépôt de l'intégrale ou l'énoncé, j'ai la trouvé comme ça, la question était calculer l'intégrale suivante ni moins ni plus, j'ai essayé de faire une intégration par partie comme jjostypm mais j'ai pas pu continuer le calcule pour la deuxième intégrale qui m'apparait, pour cela j'ai posté mon intégrale dans cet entraide. s'il vous plait qu'elle est la signification de [tex]Lie_{2}[/tex]???

jjostypm

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Re : intégrale astucieuse

Bonsoir
$\text{Li}_2$ est une fonction sur les complexes appelée "dilogarithme", qui s'écrit comme la série $\text{Li}_2(z) = \sum_{k=1}^{+\infty} \frac   
     {1}{k^2} z^k$
Wikipedia en donne une définition ici
Cordialement
J.-J.

Dernière modification par jjostypm (10-04-2023 22:49:22)

58amina2000

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Re : intégrale astucieuse

Merci beaucoup