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goamC

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Messages : 12

Comparaison de risques quadratiques

Bonjour,

J'ai un exercice de stats inférentielles et je crois avoir compris comment commencer, j'aimerais avoir votre avis sur le début de mes recherches. Voici l'énoncé :

On veut estimer la superficie d'un champ carré à l'aide d'une image satellite. On suppose qu'un seul côté du champ est mesurable.
La première mesure donne $x_1=510m$ donnant une superficie $s_1=26.01$ hectares. Une deuxième mesure donne $x_2=490m$ d'où $s_2=24.01$h. L'objet du pb est de trouver la combinaison de ces deux mesures qui donne la meilleure estimation de la superficie parmi $s_1$ et $s_2$ et les trois suivantes : $s_3=\frac{s_1+s_2}{2}=25.01$, $s_4=(\frac{s_1+s_2}{2})^2=25$ et $s_5=x_1\times x_2=24.99$. On suppose que $x_1$ et $x_2$ sont les réalisations de deux variables aléatoires $X_1$ et $X_2$ indépendantes suivant chacune une loi normale de paramètre $x$ (la vraie longueur du côté) et de variance $\sigma^2$. On note $S_1,...,S_5$ les estimateurs correspondant aux estimations $s_1,...,s_5$.
Comparer les risques quadratiques de chacun des estimateurs, conclure. Aide : Lorsque $X\sim N(m,\sigma^2)$ alors $Var(X^2)=2\sigma ^4+4m^2\sigma ^2$

Mon plan de travail : calculer les risques quadratique de chaque estimateur, tracer ce risque par rapport au paramètre que l'on cherche. Ici c'est $x$.
Formules pratiques pour ce calcul : $R_{S_1}(x)=E_x[(S_1(X)-x)^2]=Var_x(S_1(X))+[E_x(S_1(x))-x]^2$
Or comme $s_1=x_1\times x_1$ alors on a : $R_{S_1}(x)=Var_x(X_1^2)+[E_x(X_1^2)-x]^2$. Avec l'aide, on a $R_{S_1}(x)=2\sigma ^4+4m^2\sigma ^2+[E_x(X_1^2)-x]^2=2\sigma ^4+4m^2\sigma ^2+[Var_x(X_1)+[E_x(X_1)]^2-x]^2$ (car $E(X^2)=Var(X)+[E(X)]^2$)
$R_{S_1}(x)=2\sigma ^4+4m^2\sigma ^2+[\sigma ^2+x^2-x]^2=...$

Merci à tous d'avance,

-g0an

Glozi

Invité

Re : Comparaison de risques quadratiques

Bonjour,
Je n'y connais rien en stats et donc je ne peux juger de la pertinence de ta stratégie en revanche je pense que le risque quadratique s'écrit plutot
$\mathbb{E}[(S-x^2)^2]$ où $S$ est ton estimateur. En effet la vraie surface vaut $x^2$ si la vraie longueur du côté du carré est $x$.
(par ailleurs je n'ai pas compris ton estimateur $s_4$, est-ce qu'il s'agit plutôt de $s_4=(x_1+x_2)^2/4$ ?)
Bonne journée