Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bivalve

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Idéaux d'un produit de deux anneaux

Bonjour, je rencontre quelques difficultés concernant l'exercice 24 du lien suivant : https://www.bibmath.net/ressources/inde … &type=fexo

J'ai presque tout compris à la correction. La seule chose qui coince, c'est le fait que I = pA(K) et J = pB(K) sont des idéaux respectifs de A et B. Je ne comprends pas pourquoi cela est vrai, est-ce que quelqu'un peut m'expliquer plus en détail svp ?
( Il y une faute dans  la correction, ce n'est pas  I = pA(A) et J = pB(B) mais bien I = pA(K) et J = pB(K) )

Je vous remercie d'avant de vos retours !

PS : Est-ce qu'on aurait pu poser explicitement les projections comme pour pA : A x B --> A, (a;b) |--> a ?

Dernière modification par Bivalve (25-02-2023 17:18:01)

Glozi

Invité

Re : Idéaux d'un produit de deux anneaux

Bonjour,
Dans la correction il est utilisé le fait suivant :
Si $f : A \to B$ est un morphisme surjectif d'anneaux (disons anneaux commutatifs) et si $I$ est un idéal de $A$ alors $f(I)$ est un idéal de $B$. (vois tu comment le démontrer et vois tu un contre exemple si le morphisme n'est pas supposé surjectif ?)
Pour répondre à ton PS, oui quand on parle de projection de $A\times B$ sur $A$ c'est toujours cette application à laquelle on pense.
Bonne journée

Eust_4che

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Re : Idéaux d'un produit de deux anneaux

Bonjour,

Il s'agit d'un résultat général de la théorie des anneaux : l'image d'un idéal d'un anneau $K$ par un homomorphisme d'anneaux surjectif $f \colon K \longrightarrow L$ est un idéal de $L$. Cela se vérifie facilement ; pour t'aider, commence par démontrer qu'il s'agit toujours d'un idéal du sous anneau $f(K)$ de $L$.

Je ne comprend pas bien le PS. La projection de $A \times B$ est à valeurs dans $A$. S'il s'agit d'une faute de frappe et que tu voulais écrire $A$, la réponse est oui. Tu peux noter $p_A \colon (x, y) \longmapsto x$ la projection sur $A$.

E.

Dernière modification par Eust_4che (25-02-2023 15:46:12)

Bivalve

Membre

Inscription : 12-01-2023

Messages : 66

Re : Idéaux d'un produit de deux anneaux

Merci pour vos retours, je pense que j'ai bien saisi l'idée. Voici ma démonstration :
f : A → B  un morphisme surjectif d’anneaux ( commutatifs ) et I un idéal de A, montrons que J = f(I) est un idéal de B.

( Je vous épargne la démonstration qui prouve que (f(I) ; + ) est un sous-groupe de ( B ; + ) )

Montrons que f(I) est un idéal de B. Soient b ∊ B et j ∊ J = f(I).
Donc ヨi ∊ I tel que j = f(i) et comme f est une application surjective, donc
ヨa ∊ A tel que b = f(a). On sait donc que b*j = f(a) * f(i) = f(ai) ( car morphisme d'anneaux )
Comme I est un idéal de A avec i ∊ I, alors a*i ∊, donc b*j = f(ai) ∊ f(I). Finalement f(l) est bien un idéal de B.

Je ne suis pas sûr qu'elle soit bonne mais ca à l'air de marcher. Je ne vois cependant pas de contre-exemple pour l'instant.

Glozi

Invité

Re : Idéaux d'un produit de deux anneaux

Bonjour,
Pour moi ta démo est très bien, pour le contre exemple je te donne un indice en spoiler si tu ne trouves pas.

▼indice

On peut penser à une situation où $A\subset B$, avec $A$ un anneau inclus strictement dans $B$ un autre anneau. Qui prendre pour $I$ et $f$ ? (et aussi donner un exemple de $A,B$ anneaux tels que $A\subset B$).

Bonne journée

Fred

Administrateur

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Messages : 7 349

Re : Idéaux d'un produit de deux anneaux

Bonjour,

( Il y une faute dans  la correction, ce n'est pas  I = pA(A) et J = pB(B) mais bien I = pA(K) et J = pB(K) )

Je vais corriger la faute de frappe. Si tu vois d'autres erreurs, n'hésite pas à cliquer sur le lien [signaler une erreur].
Je ne lis pas tous les messages du forum!!!

F.

Bivalve

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Re : Idéaux d'un produit de deux anneaux

Merci pour tous vos aides, je tâcherai la prochaine fois de signaler les erreurs éventuelles.

Ayoub EL ADDOUNI

Membre

Inscription : 03-01-2022

Messages : 4

Re : Idéaux d'un produit de deux anneaux

c'est une double inclusion , que tu as fait dans la  correction