Forum de mathématiques - Bibm@th.net

pentium mix

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Distance a une partie ouverte

Bonjour a vous s'il vous plaît j'ai une préoccupation sur la continuité des distances aux ensembles.
Dans les documents je lis toujours la distance a un fermé est continue car 1-lipschitzienne et cela se démontre aisément. Mais je me demande qu'en est-il de la distance a un ouvert??
Honnêtement moi je ne vois pas de problème. Je dirais même qu'elle est continue .   sauf que je n'ai jamais vu ça nulle part.
J'ai besoin de vos avis s'il vous plaît.

Merci

Glozi

Invité

Re : Distance a une partie ouverte

Bonjour,
Soit $A$ une partie quelconque non vide d'un espace métrique $(E,d)$. On définit $d_A : E \to \mathbb{R}$ définie par $d_A(x) = d(A,x) := \inf\{d(a,x), a\in A\}$

Si $x,y\in E$ on peut montrer que $|d_A(x)-d_A(y)|\leq d(x,y)$ ce qui montrera le caractère Lipschitz de l'application.

▼preuve epsilonesque car on a une borne inf

Montrons par exemple que $d_A(x)-d_A(y) \leq d(x,y)$. Pour cela soit $\varepsilon >0$ on trouve $a\in A$ tel que $d(a,y)-\varepsilon \leq d_A(y) \leq d(a,y)$. Alors $d_A(x)-d_A(y) \leq d_A(x)-d(a,y)+\varepsilon \leq d(a,x)-d(a,y) + \varepsilon \leq d(x,y) + \varepsilon$.
Puis on fait $\varepsilon \to 0$.

Ainsi cela marche quelque soit la partie $A$ (ouverte, fermée, même quelconque non vide).

En revanche le fait que $d_A(x)=0 \implies x\in A$ ne marche en général pas pour une partie quelconque (cela marche lorsque $A$ est fermé).

Bonne journée

Michel Coste

Membre Expert

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Re : Distance a une partie ouverte

Bonjour,
La distance à une partie [tex]A[/tex] d'un espace métrique [tex]E[/tex] est égale à la distance à l'adhérence de [tex]A[/tex]. Donc les fonctions "distance à une partie" sont toutes des distances à un fermé.

pentium mix

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Re : Distance a une partie ouverte

D'accord

Merci beaucoup