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Vincent62

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Application de classe C1

Bonjour,

Je Je souhaite montrer que l'application f définie par [tex]f(x,y)=x \frac{sin(y)}{y}[/tex] si [tex]y\neq 0[/tex] et [tex]f(x,y)=0[/tex] si [tex]y=0[/tex] est de classe [tex]C^1[/tex] sur [tex]\mathbb{R}^2[/tex].

Bon, pas de problème pour montrer qu'elle est continue en tout point [tex](x,0)[/tex], et donc sur [tex]\mathbb{R}^2[/tex].

J'ai un problème par contre concernant les dérivées partielles.
Par exemple, en [tex](x,0)[/tex] avec [tex]x\in \mathbb{R}[/tex], j'obtiens que :

[tex]\frac{\partial f}{\partial x}(x,0)=\lim_{t\to 0} \frac{f((x,0)+t(1,0))-f(x,0)}{t}=\lim_{t\to 0} \frac{f(x+t,0)-f(x,0)}{t}=0[/tex] car [tex]f(x+t)=0=f(x,0)[/tex].

D'autre part, pour tout [tex](x,y)\in \mathbb{R}^2[/tex] avec [tex]y\neq 0[/tex], on a : [tex]\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\frac{sin(y)}{y}[/tex], et donc [tex]\lim_{y\to 0}\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=1[/tex].

Qu'est-ce qui cloche dans mon raisonnement ?

Merci !

Dernière modification par Vincent62 (22-12-2022 14:01:39)

Gui82

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Re : Application de classe C1

Bonjour,

Définie comme ceci, ta fonction ne m'a pas l'air continue. Ce ne serait pas plutôt [tex]f(x,0)=x[/tex] au lieu de [tex]f(x,0)=0[/tex] ?

Vincent62

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Re : Application de classe C1

Bonjour Gui82.
Merci pour ta réponse.
L'énoncé est comme je l'ai écrit, mais il se peut très bien qu'il y ait une coquille.

bridgslam

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Re : Application de classe C1

Bonsoir,

Et il y a aussi le cas où x = 0 et y non nul. La fonction f  est nulle en ces points (0,y) , donc de dérivée nulle par rapport à y, alors que d'après votre calcul vous trouvez  sin y / y...

A.

Eust_4che

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Re : Application de classe C1

Bonjours à tous,

Je suis du même avis que Bridgslam. La limite de $f$ au point $(x_0, 0)$ est $x_0$, puisque $\lim_{y \rightarrow 0} \frac{sin(y)}{y} = 1$ et $\lim_{x \rightarrow x_0} x = x_0$, la conclusion provenant de la continuité du produit $(x, y) \mapsto xy$ de $\mathbb{R}$. D'ailleurs, si on pose, pour $y = 0$, $f(x, y) = x$, on se retrouve avec une fonction différentiable en tout point de $\mathbb{R}^2$ et dont la différentielle est continue.

Ton raisonnement ne cloche pas. Tu retrouve bien $\frac{\partial f}{\partial x} (x, 0) = 1$ si on suppose $f(x, 0) = x$.

En revanche, Bridgslam, tu as confondu les "directions". On a $\frac{\partial f}{\partial x} (x, y) = \frac{sin(y)}{y}$ si $y \neq 0$. L'application partielle $y \mapsto f(0, y)$ est effectivement nulle, mais $\frac{\partial f}{\partial y} (x, y) = x \left (\partial ( \frac{sin(y)}{y} ) / \partial y \right)$

E.