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Eust_4che

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Exercice topologie - connexité

Bonjour à tous et à toutes,

Je suis en train de faire les exercices de connexité du livre Topologie de C. Wagshal, et j'ai un problème avec l'une de ces corrections. L'exercice est le suivant :

Soient $X$ un espace topologique, $Y$ un espace métrique et $A \subset \mathcal{C}_u(X, Y)$ une partie équicontinue. Montrer que l'ensemble des $x \in X$ tels que $A(x) = \{ f(x) \mid f \in A \}$ soit précompact est à la fois ouvert et fermé.

Pour montrer qu'il est ouvert, on la correction :

Si $A(a)$ est précompact, il existe pour tout $r > 0$, une partie finie $F$ de $Y$ telle que $A(a) \subset \cup_{y \in F} B(y, r)$. D'après l'équicontinuité au point $a$, il existe un voisinage $V$ de $a$ tel que
$$
(1) \qquad d(f(x), f(a)) \leq r \qquad \textrm{pour tout $x \in V$ et $f \in A$}
$$

Si $x$ appartient à $V$, il en résulte que $A(x) \subset \cup_{y \in F} B(y, 2r)$, et ceci prouve que $x$ est précompact pour tout $x \in V$

C'est la conclusion en italique qui me rend perplexe. Comment on peut déduire d'un seul recouvrement fini de $A(x)$ pour $2r$ l'existence d'un recouvrement pour tout $\epsilon > 0$ ? Lorsqu'on choisi un recouvrement $R$ de $A(a)$ par des ensembles de boules de rayon $r' >0$, on obtiendra donc un recouvrement de $A(x)$ par des boules de rayons $r' + r$ ; si on modifie l'écart à $(1)$, on modifie aussi le voisinage $V$ et $x$ n'a plus aucune raison d'appartenir au nouveau voisinage, non ?

Existe-il une caractérisation des espaces précompacts que j'ignore ?

E.

Fred

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Re : Exercice topologie - connexité

Bonjour,

  Si c'est écrit comme cela, alors effectivement on dirait qu'il manque un argument....

F.