Forum de mathématiques - Bibm@th.net

pentium mix

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limite

Bonjour bonjour
S'il vous plaît je voudrais montrer ceci
Soit X1, X2, ... Une séquence de variables aléatoires iid d'espérance fini sur l'espace probabilisé (Ω, F, P). Montrer que pour tout M > 0
limn→∞
P[X1 + X2 + · · · + Xn > M] = 1."

Même en utilisant la loi des grands nombre je n'arrive a rien

Merci

Fred

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Re : limite

Bonjour

  Ce que tu veux démontrer est faux par exemple si les variables aléatoires sont à valeurs négatives.

F

pentium mix

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Re : limite

https://www.cjoint.com/c/LLci2QZ1B6d
L'énoncé est la.

Bonjour

  Ce que tu veux démontrer est faux par exemple si les variables aléatoires sont à valeurs négatives.

F

Fred

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Re : limite

D'accord tu avais oublié l'hypothèse que l'espérance est positive.

Ginger40

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Re : limite

Bonjour,

Je n'ai pas trop fait de probabilités récemment, mais j'écrirais quelque chose du style :

On note $\mu=\mathbb{E}(X_1)$ l'espérance de $X_1$ (et qui est donc l'espérance de $X_i$ car les variables aléatoires sont identiquement distribuées).
Soit $M>0$. Comme $\mu>0$ ("positive" en anglais se traduit par strictement positif en français) on peut prendre un $\varepsilon>0$ tel que $\mu>\varepsilon>0$.
Comme les $(X_n)_{n\in\mathbb{N}^*}$ est une suite de variables aléatoires iid d'espérance finie, on peut utiliser la loi faible des grands nombres, i.e. :
$$
\underset{n\to+\infty}{\lim}\mathbb{P}\left(\left|\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nX_i-\mu\right|> \varepsilon\right) =0 \iff \underset{n\to+\infty}{\lim}\mathbb{P}\left(\left|\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nX_i-\mu\right|\leq \varepsilon\right) =1
$$
Maintenant on peut remarquer que :
$$
\left|\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nX_i-\mu\right|\leq \varepsilon \Rightarrow -\varepsilon \leq \frac{1}{n}\sum_{i=1}^nX_i-\mu\leq \varepsilon \Rightarrow \mu -\varepsilon \leq \frac{1}{n}\sum_{i=1}^nX_i
$$
$$
\Rightarrow  n(\mu -\varepsilon) \leq \sum_{i=1}^nX_i
$$

Ensuite comme $\mu-\varepsilon >0$ on a qu'à partir d'un rang, noté $N$, $n(\mu-\varepsilon) \geq M$. D'où
$$
M \leq n(\mu -\varepsilon) \leq \sum_{i=1}^nX_i  \Rightarrow  M \leq \sum_{i=1}^nX_i
$$
Au final on a que, pour $n\geq N$ :
$$
\left|\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nX_i-\mu\right|\leq \varepsilon \Rightarrow  M \leq \sum_{i=1}^nX_i
$$
Et on peut en déduire, toujours pour $n\geq N$ :
$$
\mathbb{P}\left(\left|\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nX_i-\mu\right|\leq \varepsilon\right) \leq \mathbb{P}\left(M \leq \sum_{i=1}^nX_i \right)\leq 1
$$
Et on peut conclure par encadrement que
$$
\underset{n\to +\infty}{\lim} \mathbb{P}\left(M \leq \sum_{i=1}^nX_i \right) = 1
$$

Voilà j'espère que c'est bon et que ça aide

Dernière modification par Ginger40 (02-12-2022 15:56:42)

pentium mix

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Re : limite

Waouhhh !!!

Merci bien

Dernière modification par yoshi (03-12-2022 09:16:01)