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lyubomir

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Problème Anayse Combinatoire

Bonjour,

Il y a k objets qui peuvent être répartis en n cellules  [tex]a_{1 }[/tex],  [tex]a_{2 }[/tex], [tex]a_{3}[/tex] ......  [tex]a_{n }[/tex], [tex]k_{1 }[/tex]+ [tex]k_{2 }[/tex]+...... [tex]k_{n}[/tex]= k, sachant que la cellule  [tex]a_{i }[/tex] contient [tex]k_{i}[/tex] objets. Combien il y a-t-il de répartitions si les objets sont tous  a)   discernables    b) - non discernables.

La réponse est normalement k/(k1!k2!....kn!)

Je n'arrive pas à comprendre pourquoi doit-on diviser par k1!k2!....kn!. Est-ce que c'est car on doit annuler l'ordre dans k1, k2 .... etc ?!

Merci à vous!

Dernière modification par lyubomir (28-11-2022 12:27:52)

Glozi

Invité

Re : Problème Anayse Combinatoire

Bonjour,

Une solution avec les coeff binomiaux :
On a $k$ objets discernables, on peut donc les supposer numérotés de $1$ à $k$. Déjà on en choisit $k_1$ qui vont dans la cellule $a_1$. Combien de choix possibles ? La réponse est ${k\choose k_1}$ (c'est le nombre de sous ensembles à $k_1$ éléments de $\{1,\dots,k\}$). Effectivement on se moque de leur ordre dans la cellule $a_1$ (sinon il faudrait multiplier par $k_1!$). Puis on choisit $k_2$ objets parmi les $k-k_1$ restants pour aller dans la cellule $a_2$, combien de choix possibles ? ${k-k_1 \choose k_2}$. etc...

Bonne journée

bridgslam

Membre Expert

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Re : Problème Anayse Combinatoire

Bonjour,

Une autre façon de procéder: vous alignez k cellules (contenant chacune 1 objet exactement, les k1 premières vont donc totaliser k1 objets, puis les k2 suivantes k2 objets etc.
Vous  rangez en face les k objets, chacun rentre dans la case d'en face.
En faisant varier les k! permutations (les files des objets) , vous obtenez k! rangements, mais vous aurez compté k1 ! k2! .... kn ! fois la même disposition de ce qui vous intéresse, puisque à l'intérieur des ki cases, seuls les objets et pas leur rangement a de l'importance (ou ,même principe, ces cases ki sont équivalentes ).

A.

LCTD

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Re : Problème Anayse Combinatoire

Bonjour,

vous écrivez

La réponse est normalement k/(k1!k2!....kn!)

, c'est pour vous la réponse au a) ou ou b)?