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goamC

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Inscription : 22-10-2022

Messages : 12

Relation normes et boules

Bonjour,

Je vous fait part d'un problème que je rencontre en topologie:
Soit $E$ un espace vectoriel sur $\mathbb{R}$. Soient $N_1$ et $N_2$ deux normes sur $E$ et $\alpha\in \mathbb{R}^{*}$.
Montrer l'équivalence suivante :
$\forall u\in E,\alpha N_1(u)\leq N_2(u) \Leftrightarrow  \overline{B}_{N_2}(\overrightarrow{0},1)\subset \overline{B}_{N_1}(\overrightarrow{0},\frac{1}{\alpha})$

Déjà j'ai un gros soucis de compréhension, j'ai beaucoup de mal à comprendre ce que "physiquement" cette propriété implique et sa représentation. Je sens que ça m'empêche de bien commencer...
Sinon voici le peu que j'ai pu faire:

Déjà, il semblerait comme nous sommes dans un espace vectoriel de dimension finie, toutes les normes sont équivalentes. Ainsi $\exists A,B>0$ tq $\forall AN_1(x)\leq N_2(x)\leq BN_1(x)$. Ici, on écrit alors $\alpha N_1(u)\leq N_2(u)$ avec $N_1$ et $N_2$ équivalents.

$\Leftarrow$ : On suppose que $\overline{B}_{N_2}(\overrightarrow{0},1)\subset \overline{B}_{N_1}(\overrightarrow{0},\frac{1}{\alpha})$. On a alors par définition: $\overline{B}_{N_2}:\{x\in E:N_2(x)\leq1\}$ et $\overline{B}_{N_1}:\{x\in E:N_1(x)\leq \frac{1}{\alpha}\}$. Et là je suis bloqué pour montrer l'ingénalité sur les normes (je me doute qu'il faut utiliser l'hypothèse que l'inclusion des boules mais je ne comprend pas comment)
$\Rightarrow$ :
On sait que $N_1$ et $N_2$ sont équivalents
Or si $N_1$ et $N_2$ sont deux normes équivalentes sur $E$ alors toute boule de centre $a$ pour l’une des normes est incluse et contient des boules de même centre $a$ (mais de rayons différents) pour l’autre norme.
Donc il existe bien deux boules fermées telles que $ \overline{B}_{N_2}(\overrightarrow{0},1)\subset \overline{B}_{N_1}(\overrightarrow{0},A)$
Et là je ne sais pas comment montrer que $A=\frac{1}{\alpha}$

Je vous remercie d'avance pour votre aide, merci beaucoup !

Glozi

Invité

Re : Relation normes et boules

Bonjour,
Certes en dimension finie toutes les normes sont équivalentes, autrement dit si $N_1$ et $N_2$ sont deux normes alors on peut trouver $C>0$ telle que $\frac{1}{C}N_1 \leq N_2 \leq C N_1$. Mais ici ce n'est pas vraiment le sujet, déjà a priori l'espace $E$ dont tu parles n'est pas de dimension finie... Tu n'as donc pas le droit de supposer les normes équivalentes, il faut uniquement utiliser les hypothèses de l'énoncé.

Ici le but de l'exercice est de dire que le fait qu'une norme $N_1$ est "contrôlée" par une norme $N_2$ est équivalent au fait que dans la boule unité pour $N_1$ on peut rentrer une boule pour $N_2$ (ou sinon que la boule unité pour $N_2$ est contenue dans une boule de $N_1$). L'exercice quantifie en plus cela au travers de la constante $\alpha >0$. Autrement dit la domination d'une norme pour une autre se voit sur une inclusion des boules pour ces normes. En particulier, en dimension finie où toutes les normes sont équivalentes, alors si tu prends deux normes $N_1$ et $N_2$ tu peux trouver deux constantes $\alpha,\beta>0$ telles que $B_{N_1}(0,\alpha) \subset B_{N_2}(0,1) \subset B_{N_1}(0,\beta)$. (tu peux voir ce que ça veut dire dans $\mathbb{R}^2$ avec la norme infinie, la norme euclidienne, ou la norme $1$...)

Maintenant, concernant l'exercice :

Pour l'implication $\implies$, pour montrer une inclusion entre deux ensembles, le "réflexe" est de dire : "soit $u\in \overline{B}_{N_2}(0,1)$, alors $N_2(u)\leq 1$, or par hypothèse $\alpha N_1(u)\leq N_2(u)$, donc $N_1(u)\leq \dots$ donc $u\in \dots$".

Pour l'autre sens, on veut montrer que $\alpha N_1(u) \leq N_2(u)$ pour tout $u$. Donnons donc $u\in E$, que dire si $u=0$ ? Supposons donc $u\neq 0$. On veut utiliser notre hypothèse $\overline{B}_{N_2}(0,1) \subset \overline{B}_{N_1}(0,1/\alpha)$. Divisons donc $u$ par $N_2(u)\neq 0$, alors $u/N_2(u) \in \overline{B}_{N_2}(0,1)$ donc $u/N_2(u) \in \dots$ donc $N_1(u/N_2(u)) \leq \dots$ donc ...

Remarque : ton énoncé dit $\alpha \in \mathbb{R}^*$ mais il faut supposer $\alpha>0$ sinon la propriété est clairement fausse.

Bonne journée