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Abdellah Kahlaoui

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Espace complet et suite de cauchy

Bonjour, je n'arrive pas à comprendre pourquoi on a ça !!

et merci pour les réponses en avance :D.

Fred

Administrateur

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Messages : 7 349

Re : Espace complet et suite de cauchy

Bonjour,

  Si $(x_n)$ est une suite de Cauchy, alors pour tout $\epsilon>0$, il existe $N$ tel que, pour tout $p,q\geq N$, on a
$|x_p-x_q|\leq \epsilon$. En particulier, on a $|x_p-x_N|\leq\epsilon$.

Ainsi, si je définis
$$A(\epsilon)=\{n\in\mathbb N:\ \forall p\geq n,\ |x_p-x_n|\leq\epsilon\},$$
alors $A(\epsilon)$ est non vide. Puisque c'est une partie de $\mathbb N$, il contient un plus petit élément.

C'est ce qui est fait ici avec $\epsilon=2^{-2}$.

F.