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pentium mix

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Ouvert du cercle unité

Bonjour
S'il vous plaît j'aimerai savoir comment montrer que
{(a;b) 0<a<b<2π} est un ouvert de R×R

Merci d'avance

Dernière modification par pentium mix (02-11-2022 03:52:00)

Glozi

Invité

Re : Ouvert du cercle unité

Bonjour,
Je te conseille de faire un dessin pour comprendre ce que c'est que ton ensemble (vu comme tu l'as defini ça n'a pas l'air d'être une partie du cercle unité) (car par exemple (1,2) est un point de ton ensemble).
Ensuite je te conseille de revenir à la defnition d'un ouvert : prend un point (a,b) dans ton ensemble et trouve une petite boule ouverte centrée en ce point qui est contenue dans ton ensemble.
Bonne journée.

pentium mix

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Re : Ouvert du cercle unité

Bonjour,
Je te conseille de faire un dessin pour comprendre ce que c'est que ton ensemble (vu comme tu l'as defini ça n'a pas l'air d'être une partie du cercle unité) (car par exemple (1,2) est un point de ton ensemble).
Ensuite je te conseille de revenir à la defnition d'un ouvert : prend un point (a,b) dans ton ensemble et trouve une petite boule ouverte centrée en ce point qui est contenue dans ton ensemble.
Bonne journée.

Merci beaucoup

Fred

Administrateur

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Re : Ouvert du cercle unité

Bonjour,

  Voici une démarche alternative à celle proposée par Glozi, pour éviter d'avoir à calculer explicitement des rayons de boule :

1.Dessiner ton ensemble, je vais l'appeler $A$.

2. Introduire $U_1=\{(a,b)\in\mathbb R^2:\ a>0\}$, $U_2=\{(a,b)\in\mathbb R^2:\ a>b\}$ et $U_3=\{(a,b)\in\mathbb R^2:\ b>2\pi\}.$

3. Remarquer que $A=U_1\cap U_2\cap U_3.$

4. Démontrer que chaque $U_i$ est un ouvert - le plus facile, c'est d'observer que chaque $U_i$ est image réciproque d'un ouvert par une fonction continue

5. Utiliser le fait que l'intersection d'un nombre fini d'ouverts est un ouvert.

F.

pentium mix

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Re : Ouvert du cercle unité

Vu

Bonjour,

  Voici une démarche alternative à celle proposée par Glozi, pour éviter d'avoir à calculer explicitement des rayons de boule :

1.Dessiner ton ensemble, je vais l'appeler $A$.

2. Introduire $U_1=\{(a,b)\in\mathbb R^2:\ a>0\}$, $U_2=\{(a,b)\in\mathbb R^2:\ a>b\}$ et $U_3=\{(a,b)\in\mathbb R^2:\ b>2\pi\}.$

3. Remarquer que $A=U_1\cap U_2\cap U_3.$

4. Démontrer que chaque $U_i$ est un ouvert - le plus facile, c'est d'observer que chaque $U_i$ est image réciproque d'un ouvert par une fonction continue

5. Utiliser le fait que l'intersection d'un nombre fini d'ouverts est un ouvert.

F.

Merci bien c'est tellement plus facile avec cette méthode

Grand merci

bridgslam

Membre Expert

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Re : Ouvert du cercle unité

Bonjour,

Vous avez aussi que la partie est l'intersection du pavé élémentaire  ouvert $]0, 2\pi [ \times ]0,2\pi[$ et du demi-plan ouvert {y > x }.
Sauf erreur.
A.

Dernière modification par bridgslam (02-11-2022 10:56:59)