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Junior ste

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Espace vectoriel topologique(evt)

Salut.
Svp j'ai un souci avec cette remarque

https://www.cjoint.com/c/LJCiOcEbTeo

En effet on sait qu'il y'a équivalence entre continuité et séquentielle continuité lorsque l'espace topologique vérifie le premier axiome de denombrabilité.
Voilà ce que je propose pour ça
https://www.cjoint.com/c/LJCiiQ2tydo
En effet j'essaie de prouver que tout evt vérifie le premier axiome de denombrabilité. Pour cela j'essaie de prouver que tout evt admet une semi norme pour ce faire donc il me faut avoir une partie convexe, équilibrée et absorbante je soupçonne l'evt en question cela m'a permis de dire que dire que la cette semi norme est la jauge de l'evt que je nomme par $X$. Ainsi l'ensemble des boules de la semi norme forment une base de voisinage de zero.
Vos différents suggestions sont attendues

Dernière modification par Junior ste (28-10-2022 09:44:23)

Glozi

Invité

Re : Espace vectoriel topologique(evt)

Bonjour,

C'est quoi le premier axiome de dénombrabilité ?
Sinon je pense que regarder cet article peut être éclairant : https://fr.wikipedia.org/wiki/Suite_g%C … lis%C3%A9e
Mais je passe peut être à coté de quelque chose ?

Bonne journée

Eust_4che

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Re : Espace vectoriel topologique(evt)

Bonjour à tous les deux,

Glozi, on dit qu'un espace topologique vérifie le 1er axiome de dénombrabilité lorsque sa topologie possède une base dénombrable, et qu'il vérifie le deuxième lorsque chaque point possède un système fondamental dénombrable de voisinages. C'est une terminologie qu'on rencontre plutôt dans les manuels anglo-saxons.

Une suites généralisées (ou filets) est une famille $(f_i)_{i \in I}$ d'éléments d'un ensemble dont l'ensemble de départ $I$ est doté d'une relation d'ordre filtrante (à droite ou gauche), c'est-à-dire que pour tout indice $i, j \in I$, il existe $k$ tel que $i \geq k$ et $j \geq k$ (lorsque la relation est filtrante à droite). Il s'agit en quelque sorte de la notion minimale pour parler de "convergence vers l'infini", en prenant des points "de plus en plus grands". D'ailleurs, un ensemble sur lequel a été défini une relation d'ordre filtrante s'appelle directed set en anglais, donnant cette idée qu'il s'agit finalement de prendre une direction et de s'y maintenir (peu importe que cette direction soit finalement commune à tous les points, comme dans un ensemble totalement ordonné). L'ajout de "filtrant" permet, en gros, le résultat suivant : s'il existe une direction $D_1$ telle qu'une propriété $P_1$ soit vraie dans celle-ci, et une direction $D_2$ telle qu'une propriété $P_2$ soit vraie dans celle-ci, alors il existe une direction $D_3$ telle que $P_1$ et $P_2$ soit vraie : $D_1$ désigne un intervalle $[i, \rightarrow[$, $D_2$ un intervalle $[j, \rightarrow[$ et $D_3$ l'intervalle $[k, \rightarrow[$, avec $k \geq i, j$.

Cela étant précisé, ce n'est finalement pas une notion qu'on retrouve dans les manuels français, car soit on manipule des suites, soit, plus généralement, on introduit les "filtres", notions développées par Cartan et qui identique à celle de "suites généralisés".

Donc, pour conclure, une suite (sans précision) est une suite généralisée, car l'ensemble $\mathbb{N}$ est un ensemble filtrant croissant (il est totalement ordonné), mais une suite généralisée n'est pas du tout une suite au sens où on l'entend habituellement . Précisément, et c'est là la différence fondamentale, l'ensemble des indices peut ne pas être dénombrable.

Après avoir exposée la proposition que présente par notre ami Junior, on la démontre de la façon suivante. Supposons $f$ continue au point $x_0$. Pour tout voisinage $V$ de $f(x_0)$, il existe un voisinage $W$ de $x_0$ tel que la relation $y \in W$ entraîne $f(y) \in V$ ; puisqu'il existe un indice $i \in I$ tel que la relation $j \geq i$ entraîne $x_i \in W$, par la convergence de la suite $(x_i)$, il existe évidemment un indice $i \in I$, tel que la relation $j \geq i$ entraîne $f(x_i) \in V$. Inversement, supposons que $f$ ne soit pas continue au point $x_0$. Cela signifie qu'il existe un voisinage $V$ de $f(x_0)$ tel que, pour tout voisinage $W$ de $x_0$, il existe $y \in W$ et $f(y) \notin V$. Par l'axiome du choix, on va donc pouvoir construire une application $u$ de l'ensemble des voisinages $\mathcal{V}$ de $x_0$ satisfaisant $u(W) \in W$ et $f(u(W)) \notin V$. La suite généralisée $(u(W))_{W \in \mathcal{V}}$ ne converge pas vers $f(x_0)$.

Lorsque $x_0$ possède une base dénombrable, il est possible de réduire l'ensemble de départ (ici \mathcal{V}) à une partie dénombrable de parties, ce qui justifie la manipulation des suites. Sinon, c'est n'est pas un outils adapté.

Enfin, pour conclure, dans un espace vectoriel topologique un point n'a aucune raison d'avoir un système fondamental dénombrable de voisinages : prend n'importe quel espace vectoriel topologique $E$ qui n'est pas discret, et considère, pour un ensemble $I$ non dénombrable, l'espace vectoriel des applications de $I$ dans $E$ ; pour la topologie produit, c'est un espace vectoriel topologique, mais les points de $E^I$ ne peuvent pas posséder de système fondamental dénombrable de voisinages.

(Conclusion (bis) : les espaces vectoriels topologiques dont la topologie peut être définie par une famille de semi-normes sont les espaces qui sont "localement convexes", ce qui n'est pas toujours le cas. Si tous les espaces vectoriels topologiques pouvaient être définie par une unique semi-normes, un simple passage au quotient par le sous-espace des vecteurs de norme nulle, nous donneraient systématiquement un espace normé. Ce serait trop beau pour être vrai...)

Dernière modification par Eust_4che (28-10-2022 11:42:11)

Glozi

Invité

Re : Espace vectoriel topologique(evt)

J'ai l'impression que du dis "Si $X$ est un espace vectoriel topologique, alors $X$ est convexe, équilibré, absorbant, donc sa jauge $p_X$ définit une semi norme".
Le problème est que $p_X(x) = \inf\{\lambda>0, \lambda x \in X\}$ et donc $p_X=0$... Ainsi toutes tes boules sont en fait $X$ tout entier, je me trompe ?

Au passage, l'espace $E=\mathbb{R}^\mathbb{R}$ est naturellement muni d'une structure d'espace vectoriel (sur $\mathbb{R}$). Si on muni $E$ de la topologie produit (pour la topologie usuelle de $\mathbb{R}$), alors $E$ possède une structure d'espace vectoriel topologique. C'est à dire $E\times E \to E, (f,g)\mapsto f+g$ et $\mathbb{R}\times E\to E, (\lambda,f)\mapsto \lambda f$ sont continues.
Cependant $E$ muni de cette topologie n'est même pas métrisable, et aucun point n'admet une base dénombrable de voisinages (si c'est ce que tu voulais dire).
Tu as des semi normes pour $x\in \mathbb{R}$, $p_x : E \to \mathbb{R}, f \mapsto |f(x)|$ mais elles sont en quantité non dénombrable...

(je vois alors que j'écris ce message que Eust_4che a répondu, merci pour tes explications !)

Junior ste

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Re : Espace vectoriel topologique(evt)

Salut
Glozi je pense ce que vous dites là est une implication ( si je suis metrisable alors je vérifie le premier Axiome de denombrabilité)et non une équivalence si je me trompe pas.
Premièrement l'application est bien défini car $X$ est absorbant donc le inf de cet ensemble est différent de plus l'infini.
En plus j'ai trouvé bizarre ce que j'ai fait car comme tu l'a dit tout mes boules sont $X$
En passant j'ai propose un truc mon but est que vous vérifiez et me dites si j'ai fait une erreur et cela me permettra d'améliorer ou au cas contraire vous proposez autre méthode que je vais adopter...
Merci bien vos différents jugement compte please.

Dernière modification par Junior ste (28-10-2022 17:24:32)

Glozi

Invité

Re : Espace vectoriel topologique(evt)

Bonsoir,
L'exemple de $\mathbb{R}^\mathbb{R}$ est non métrisable $\textbf{ et }$ non séquentiel $\textbf{ et }$ ne vérifie pas l'axiome de dénombrabilité. (je ne suis plus trop sur des implications entre les trois). Il n'y a pas de base dénombrable du point $0^\mathbb{R}$ par exemple (ce qui montre le dernier point). Le fait que tous les espaces vectoriels topologiques vérifient l'axiome de dénombrabilité est donc faux (on a un contre exemple).

En gros, j'ai l'impression que ce que tu fais dans ton papier c'est construire une semi norme (qui est $p_X=0$). Or la topologie de l'espace n'a aucune raison (du moins je n'en vois pas) d'être la même que la topologie induite par cette semi norme. Du coup je ne vois pas comment on pourrait conclure ?

Par ailleurs as-tu lu le message de Eust_4che ? Car justement la notion de 'suites généralisées' permet d'attraper la topologie de manière "séquentielle".

Fait intéressant sur $\mathbb{R}^\mathbb{R}$ qui fait réfléchir :
Pour $\mathbb{R}^\mathbb{R}$ (muni de la topologie produit) on peut voir par exemple que l'ensemble $\mathbb{R}^{(\mathbb{R})}$ des fonctions qui sont nulles sauf en en un nombre fini de points est dense dans $\mathbb{R}^\mathbb{R}$, mais que $1^\mathbb{R}$ n'est pas limite d'une suite de fonctions de $\mathbb{R}^{(\mathbb{R})}$. Ceci montre que la notion habituelle de suite ne suffit pas à attraper la topologie de $\mathbb{R}^\mathbb{R}$ (qui est d'ailleurs la topologie de la convergence simple).

Bonne soirée