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Zerhouni

Invité

Adhérence de boules

Bonjour, je ne comprend pas les parties surlignés en jaune dans le corrigé. Ce serait sympa si quelqu'un pourrais m'expliquer.

Glozi

Invité

Re : Adhérence de boules

Bonjour,

"ce qui montre une inclusion" : on procède par double inclusion. En fait on chercher à montrer une égalité ensembliste. À ton avis entre quels ensembles ? Et à ton avis à quelle inclusion cette ligne fait-elle référence et surtout pourquoi ?

"$\frac{y-x}{R}\geq 1$ n'a absolument aucun sens. Quel est la nature de l'objet à gauche ? Vecteur ou scalaire ?

Honnêtement je te conseille fortement de revoir ton cours (qui pour le moment ne m'a pas l'air du tout compris et maîtrisé) avant de faire les exercices (et aussi de chercher les exercices avant de regarder le corrigé). Sinon ça sera peu productif et ça ne permet pas de se rendre compte de ce qui se passe et des difficultés qui rendent l'exercice intéressant.

Le but d'un exercice est de se familiariser avec le cours (puis de l'approfondir), mais pour cela une bonne connaissance des définitions et propriétés élémentaires des objets ainsi que des raisonnements typiques faits en cours est indispensable de mon point de vue.

Enfin pour conclure, je me répète mais en faisant un dessin de la situation, la preuve s'éclaircit (fais juste un dessin avec une boule dans $\mathbb{R}^2$, place les éléments $x,y,z$...)

Bonne journée.

Zerhouni

Invité

Re : Adhérence de boules

Bonjour,

"ce qui montre une inclusion" : on procède par double inclusion. En fait on chercher à montrer une égalité ensembliste. À ton avis entre quels ensembles ? Et à ton avis à quelle inclusion cette ligne fait-elle référence et surtout pourquoi ?

"$\frac{y-x}{R}\geq 1$ n'a absolument aucun sens. Quel est la nature de l'objet à gauche ? Vecteur ou scalaire ?

Honnêtement je te conseille fortement de revoir ton cours (qui pour le moment ne m'a pas l'air du tout compris et maîtrisé) avant de faire les exercices (et aussi de chercher les exercices avant de regarder le corrigé). Sinon ça sera peu productif et ça ne permet pas de se rendre compte de ce qui se passe et des difficultés qui rendent l'exercice intéressant.

Le but d'un exercice est de se familiariser avec le cours (puis de l'approfondir), mais pour cela une bonne connaissance des définitions et propriétés élémentaires des objets ainsi que des raisonnements typiques faits en cours est indispensable de mon point de vue.

Enfin pour conclure, je me répète mais en faisant un dessin de la situation, la preuve s'éclaircit (fais juste un dessin avec une boule dans $\mathbb{R}^2$, place les éléments $x,y,z$...)

Bonne journée.

J’ai écouté vos conseils et fait un dessin de la situation (qui se trouve en bas) ce qui m’a permis de comprendre la première partie du corrigé. J’estime avoir bien appris mon cours, au niveau connaissances des définitions et des propriétés je n’ai pas de problèmes, il manque juste de la pratique qui viens… avec les exercices. J’ai également compris qu’on procède à une double inclusion entre la boule fermée de rayon R et l’adhérence de la boule ouverte de même rayon. Sachant que l’élément qui viens de la boule fermée est y et que l’on a conclu avec une égalité selon x je ne comprends pas en quoi cela prouve une des deux inclusions. Je reconnais avoir écrit un peut vite avec "$\frac{y-x}{R}\geq 1$" mais je parlais en termes de norme, es ce que la norme de cet élément est supérieur ou égale à 1.

Glozi

Invité

Re : Adhérence de boules

Rebonjour,

Merci pour ta réponse et ton image. Cela me permet de comprendre ce qui va et ce qui ne va pas.

Tout d'abord tu as raison pour la première inclusion. Dans le corrigé il est écrit $\Vert z-x\Vert \leq R+\varepsilon$ ceci est vrai mais totalement inutile. Il y aurait du avoir écrit $\Vert y -x \Vert \leq R+\varepsilon$ (pourquoi est-ce vrai ?). Désolé, je n'avais pas vu cette erreur.

Ensuite, ton dessin est bien mais il y a un gros soucis : $x,y,z$ doivent être alignés (pourquoi ?). Et une fois ceci établi le $\varepsilon$ ne va pas apparaître à deux endroits différents. Il s'agit de la distance de $z$ à $y$.

Peut être que ceci t'aidera à répondre à la question $\Vert \frac{y-x}{R} \Vert \overset{?}{\geq} 1.$ (sinon n'oublie pas qui est $y$...) d'ailleurs pourquoi penses-tu que ceci est vrai (ou faux) ?

D'ailleurs je vois une autre typo dans le corrigé : à la fin $\Vert z-y\Vert \leq \varepsilon \Vert x\Vert$ devrait être $\Vert z-y\Vert \leq \varepsilon$...
Décidément... (il en reste peut-être encore ?...)

Honnêtement je te conseille de de te fier davantage à ton bon jugement car ces corrigés ont l'air bourrés d'erreurs

Bonne chance

Zerhouni

Invité

Re : Adhérence de boules

Rebonjour,

Merci pour ta réponse et ton image. Cela me permet de comprendre ce qui va et ce qui ne va pas.

Tout d'abord tu as raison pour la première inclusion. Dans le corrigé il est écrit $\Vert z-x\Vert \leq R+\varepsilon$ ceci est vrai mais totalement inutile. Il y aurait du avoir écrit $\Vert y -x \Vert \leq R+\varepsilon$ (pourquoi est-ce vrai ?). Désolé, je n'avais pas vu cette erreur.

Ensuite, ton dessin est bien mais il y a un gros soucis : $x,y,z$ doivent être alignés (pourquoi ?). Et une fois ceci établi le $\varepsilon$ ne va pas apparaître à deux endroits différents. Il s'agit de la distance de $z$ à $y$.

Peut être que ceci t'aidera à répondre à la question $\Vert \frac{y-x}{R} \Vert \overset{?}{\geq} 1.$ (sinon n'oublie pas qui est $y$...) d'ailleurs pourquoi penses-tu que ceci est vrai (ou faux) ?

D'ailleurs je vois une autre typo dans le corrigé : à la fin $\Vert z-y\Vert \leq \varepsilon \Vert x\Vert$ devrait être $\Vert z-y\Vert \leq \varepsilon$...
Décidément... (il en reste peut-être encore ?...)

Honnêtement je te conseille de de te fier davantage à ton bon jugement car ces corrigés ont l'air bourrés d'erreurs

Bonne chance

Merci pour votre aide. J'ai refait le dessin avec vos indications et j'ai commencé à écrire un raisonnement que l'on peut voir sur l'image ci-dessous. Cependant je ne vois toujours pas pour quel raison les points devraient etre alignés, je ne vois pas de contrainte particulière sur la position de y, il peut se trouver à n'importe quel endroit de la boule fermé.

Glozi

Invité

Re : Adhérence de boules

Bonsoir,

Ce n'est absolument pas possible d'écrire des inégalités entres des vecteurs !! Il faut absolument arrêter ça. Et c'est également totalement interdit d'additionner un vecteur et un scalaire (ex : $z\leq x +(R-\varepsilon)$ là c'est la totale...)

Ensuite, il y a des justifications faites à l'envers, tu écris $\Vert z-x\Vert \leq R-\varepsilon$ car $R\geq \varepsilon$. C'est bien de se rendre compte qu'on aurait un problème si on avait une norme négative. Cependant, ce n'est pas une justification valable (pourquoi ton raisonnement  précédent ne marcherait pas lorsque $\varepsilon> R$ ? ça veut dire qu'il y a eu une arnaque...). Il faut utiliser ton amie la valeur absolue : $\Vert \lambda x\Vert = |\lambda|\Vert x\Vert$ (homogénéité de la norme) et surtout pour voir pourquoi on utilise ça, il ne faut pas passer d'inégalités entre les vecteurs (qui n'ont aucun sens) à une inégalité en norme.

Je ne comprends pas ta remarque pour $\varepsilon=1$. Tu dis $\Vert z-x\Vert$ peut être égal à $R+1$ alors que précédemment tu as dis que $\Vert z-x\Vert \leq R-\varepsilon$.

Bon, pourquoi $x,y,z$ sont trois points alignés ? Tu as raison $y$ peut être n'importe où sur la sphère. En revanche $z$ lui dépendra de $x$ et $y$. Plus précisément les vecteurs $z-x$ et $y-x$ sont colinéaires (c'est écrit dans la définition de $z$ est-ce que tu vois pourquoi ?). Exercice mental pour comprendre : Imagine que les points $x$ et $y$ sont fixés. $\varepsilon$ est une variable réelle qui varie de $0$ à $R$, et voit le point $z$ comme une fonction de $\varepsilon$ est-ce que tu peux imaginer le trajet de $z$ lorsque $\varepsilon$ varie de $0$ à $R$ ?

Pour conclure : INTERDIT d'écrire des inégalités entre vecteurs.
Quand tu écris le nom d'une variable, demande toi systématiquement quelle est sa nature (un scalaire ou un vecteur ?)

NB : Tu écris $\frac{y-x}{R}\leq 1$, j'imagine que dans ta tête tu pensais à $\Vert \frac{y-x}{R}\Vert\leq 1$. En fait $y$ est choisi sur la $\textbf{sphère}$ de centre $x$ de rayon $R$, tu ne peux pas dire mieux que cette inégalité ?

Tu as l'air motivé, donc c'est très bien ! Essaye d'appliquer ces conseils : faire attention à la nature des objets que tu manipules, et pas de folie avec les inégalités entre les vecteurs et les additions entre scalaires et vecteurs.

Bon courage !

Junior ste

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Messages : 93

Re : Adhérence de boules

Salut..
En fait comme $y\in$$B(x,R)$ alors $||y-x||<=R$$\Rightarrow$ $\frac{||y-x||}{R}<=1$

Zerhouni

Invité

Re : Adhérence de boules

Bonsoir,

Ce n'est absolument pas possible d'écrire des inégalités entres des vecteurs !! Il faut absolument arrêter ça. Et c'est également totalement interdit d'additionner un vecteur et un scalaire (ex : $z\leq x +(R-\varepsilon)$ là c'est la totale...)

Ensuite, il y a des justifications faites à l'envers, tu écris $\Vert z-x\Vert \leq R-\varepsilon$ car $R\geq \varepsilon$. C'est bien de se rendre compte qu'on aurait un problème si on avait une norme négative. Cependant, ce n'est pas une justification valable (pourquoi ton raisonnement  précédent ne marcherait pas lorsque $\varepsilon> R$ ? ça veut dire qu'il y a eu une arnaque...). Il faut utiliser ton amie la valeur absolue : $\Vert \lambda x\Vert = |\lambda|\Vert x\Vert$ (homogénéité de la norme) et surtout pour voir pourquoi on utilise ça, il ne faut pas passer d'inégalités entre les vecteurs (qui n'ont aucun sens) à une inégalité en norme.

Je ne comprends pas ta remarque pour $\varepsilon=1$. Tu dis $\Vert z-x\Vert$ peut être égal à $R+1$ alors que précédemment tu as dis que $\Vert z-x\Vert \leq R-\varepsilon$.

Bon, pourquoi $x,y,z$ sont trois points alignés ? Tu as raison $y$ peut être n'importe où sur la sphère. En revanche $z$ lui dépendra de $x$ et $y$. Plus précisément les vecteurs $z-x$ et $y-x$ sont colinéaires (c'est écrit dans la définition de $z$ est-ce que tu vois pourquoi ?). Exercice mental pour comprendre : Imagine que les points $x$ et $y$ sont fixés. $\varepsilon$ est une variable réelle qui varie de $0$ à $R$, et voit le point $z$ comme une fonction de $\varepsilon$ est-ce que tu peux imaginer le trajet de $z$ lorsque $\varepsilon$ varie de $0$ à $R$ ?

Pour conclure : INTERDIT d'écrire des inégalités entre vecteurs.
Quand tu écris le nom d'une variable, demande toi systématiquement quelle est sa nature (un scalaire ou un vecteur ?)

NB : Tu écris $\frac{y-x}{R}\leq 1$, j'imagine que dans ta tête tu pensais à $\Vert \frac{y-x}{R}\Vert\leq 1$. En fait $y$ est choisi sur la $\textbf{sphère}$ de centre $x$ de rayon $R$, tu ne peux pas dire mieux que cette inégalité ?

Tu as l'air motivé, donc c'est très bien ! Essaye d'appliquer ces conseils : faire attention à la nature des objets que tu manipules, et pas de folie avec les inégalités entre les vecteurs et les additions entre scalaires et vecteurs.

Bon courage !

Désolé pour les étourderies entre vecteurs et scalaires, je ferais plus attention la prochaine fois, merci beucoup pour votre aide !