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Eust_4che

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Topologie de l'ordre

Bonjour à tous !

Je suis face à un exercice de Bourbaki (Topologie générale, I) dont l'enoncé me pose problème :
"Sur un ensemble ordonné $X$, on désigne par $\mathscr{T}_0(X)$ (...) la topologie engendrée par l'ensemble des intervalles ouverts (...) limités ou non. Montrer que si $E$ est totalement ordonné, les intervalles ouverts (...) forment une base de $\mathscr{T}_0(E)$". Seulement, voilà : que se passe-t-il si $X$ est un singleton $\{ x \}$ ? Comment obtenir $\{x \}$ en prenant la réunion des intervalles ouverts qui sont alors tous vides ?

L'article Wikipédia sur le sujet (https://fr.wikipedia.org/wiki/Topologie_de_l'ordre) exclut ce cas en exigeant que $X$ possède au moins deux éléments et le manuel d'Alain Faisant (TP et TP de topologie générale) demande de le démontrer en supposant que $X$ ne possède ni plus grand ni plus petit élément. Je suis donc un peu circonspect.

Merci pour vos réponses

E.

Dernière modification par Eust_4che (14-09-2022 17:48:36)

Fred

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Re : Topologie de l'ordre

Salut,

  Je ne peux que dire que tu sembles avoir raison. Cela vaudrait le coup de jeter un coup d'oeil à Laurent Schwartz, Analyse I : Théorie des ensembles et topologie, 1991, cité par Wikipedia pour cette propriété.

F.

Eust_4che

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Re : Topologie de l'ordre

Re-bonjour,

Étonnemment (étant donné la stature de Schwartz), sa démonstration de l'intersection de deux ouverts oublie le cas où l'intersection finie s'obtient par la famille vide, ce qui nous donne l'espace tout entier. Cela étant, je viens de réaliser qu'on obtient l'espace tout entier en prenant l'intervalle ouvert $]\leftarrow, \rightarrow [$, que Bourbaki présente comme "l'intervalle ouvert illimité dans les deux sens"(Bourbaki, E, III, 15). On a donc pas besoin des hypothèses supplémentaires.

E.

Dernière modification par Eust_4che (16-09-2022 07:24:05)

bridgslam

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Re : Topologie de l'ordre

Bonjour,

Sans cette définition supplémentaire, il faut supposer l'ordre total et au moins deux éléments dans E afin que les 3 types restreints d'intervalles ouverts constituent une base de la topologie engendrée (2 types suffisent pour l'engendrement d'ailleurs).
Notons aussi pour la bonne bouche qu'il existe des ensembles E ordonnés (même total ) et des intervalles ouverts dans E d'aucun type ci-dessus ( par exemple $E = \mathbb{Q}$ et les rationnels de carré inférieur à 2 ).
Les définitions se basent donc uniquement sur les intervalles "à section orthodoxe".

A.

---

"Ceux qui ne savent rien en savent toujours autant que ceux qui n'en savent pas plus qu'eux" -Pierre Dac
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Eust_4che

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Re : Topologie de l'ordre

Merci pour vos réponses !

Une autre question survient. Pour que la topologie de l'ordre sur un ensemble totalement ordonné possède une base dénombrable, il faut et il suffit qu'il existe une partie $D$ dénombrable telle que, pour tout $x \in E$, pour tout $a, b \in E$, si $x \in ]a, b[$, alors il existe $\alpha, \beta \in D$ tels que $a \leq \alpha < x < \beta \leq b$. Dans un sens c'est immédiate, mais dans l'autre je bute.

La démonstration de Schwartz est vraiment laconique "Supposons que cette topologie soit à base dénombrable. Cela implique qu'il existe une famille dénombrable d'intervalles ouverts".
Comment peut-on démontrer que les ouverts de la base dénombrable $B$, qui a priori est quelconque, sont des intervalles ? Étant données deux bases $B_1$ et $B_2$ d'une topologie, a-t-on toujours la possibilité de trouver une partie de l'une qui est une base et de même cardinalité (la plus faible) que la deuxième ?

E.

Dernière modification par Eust_4che (10-10-2022 16:42:36)

Fred

Administrateur

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Re : Topologie de l'ordre

Bonjour,

  Je pense qu'on doit pouvoir raisonner ainsi : si $E$ possède une base dénombrable, alors $E$ est au plus dénombrable.
Pour $x\in E$, on pose $\mathcal U(x)$ les ouverts de ta base qui contiennent $x$ (ils sont en nombre au plus dénombrable).
Pour chacun de ces ouverts $U_i$, on peut trouver des éléments $\alpha_{i,x}$ et $\beta_{i,x}$ tels que
$\alpha_{i,x}<x<\beta_{i,x}$ et $]\alpha_{i,x},\beta_{i,x}[\subset U_i$. Tes $(alpha_{i,x})$ et $(\beta_{i,x})$ sont en nombre (au plus) dénombrable et cela devrait marcher.

F.

Glozi

Invité

Re : Topologie de l'ordre

Bonjour,

Je me permets d'intervenir, ce n'est pas du tout mon domaine de prédilection mais je trouve ça assez joli, corrigez moi si je dis des bêtises.

Je ne suis pas sur que $E$ à base dénombrable implique $E$ au plus dénombrable. (par exemple $E=(\mathbb{R},\leq)$ ? ou alors j'ai raté quelque chose ?)

Pour qu'on soit d'accord, pour moi une base d'ouverts est une collection d'ouverts de $E$ tel que tout ouvert de $E$ est réunion de certains ensembles de cette collection.

J'ai besoin de la définition suivante (j'ai choisi cette terminologie mais ce n'est peut être pas celle adaptée).
On dit que $a\in E$ est isolé à droite s'il existe $b\in E$ tel que $b>a$ et $]a,b[$ est vide.
On dit que $b\in E$ est isolé à gauche s'il existe $a\in E$ tel que $a<b$ et $]a,b[$ est vide.

Je te propose de montrer le lemme suivant : si $E$ admet une base dénombrable, alors l'ensemble des points isolés droite ou isolés à gauche est au plus dénombrable.

Indice : si par exemple il y a une quantité non dénombrable de points isolés à droite, construire une famille non dénombrable d'ouverts non vides disjoints. J'ai fait la preuve dans ma tête donc j'espère que ça marche vraiment.

Ensuite on utilise l'axiome du choix dénombrable, pour chaque ouvert $U_i$ non vide de ta base dénombrable tu peux choisir un $x_i\in U_i$. Posons $F$ l'ensemble au plus dénombrable (par le lemme) des points de $E$ isolés à gauche ou à droite. Je pense que $D=\{x_i\}_i\cup F$ convient.

En effet soit $x\in E$ tel que $x\in]a,b[$ avec $a,b\in E$. Je vais m'occuper de trouver $\alpha$.
On regarde l'ouvert $]a,x[$.
Si $]a,x[$ est non vide. Alors en tant qu'ouvert il est réunion (non vide) d'ouverts (non vides) de ma base. Soit $U_i$ un ouvert non vide de ma base tel que $U_i\subset ]a,x[$. Alors j'ai dans $D$ un $x_i\in U_i\subset ]a,x[$. Donc j'ai un élément $\alpha :=x_i$ qui convient.
Si $]a,x[$ est vide, alors c'est que $a$ est isolé à droite et donc $\alpha :=a\in F\subset D$ convient.

Dites moi si vous avez l'impression que j'arnaque quelque part.

Bonne journée

Fred

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Re : Topologie de l'ordre

Bonjour,

Je ne suis pas sur que $E$ à base dénombrable implique $E$ au plus dénombrable. (par exemple $E=(\mathbb{R},\leq)$ ? ou alors j'ai raté quelque chose ?)

Tu as raison, j'ai dit n'importe quoi...
Et j'ai l'impression que ta preuve fonctionne!

Eust_4che

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Re : Topologie de l'ordre

Bonjour à tous les deux,

Effectivement, la preuve de Fred est problématique : nous avons une famille $(\alpha_{(i, x)})_{(i, x) \in \mathbb{N} \times E}$ qui, sans indication sur $E$, n'a aucune raison d'être dénombrable.

Je n'arrive pas à retrouver le résultat de Glozi :/ En fait, je n'arrive pas à trouver le lien entre des ouverts non vides disjoints et les points isolés à droite (ou gauche), parce qu'un point peut être isolé à droite tout en étant adhérent à l'ensemble des points isolés à droite.

C'est à ce seul endroit ou je bloque. Après, effectivement, une fois résolu le pb d'avoir une partie dénombrable $D$ tel que si $[a, b[ = \{a \}$ alors $a \in D$, on peut dérouler comme Glozi l'a fait.

Encore merci de m'aider !

Glozi

Invité

Re : Topologie de l'ordre

Idée de preuve, suppose $a_1<a_2<a_3$ sont trois éléments de $E$ qui sont isolés à droite.
Alors on peut trouver $b_1,b_2,b_3$ trois éléments de $E$ (ils sont uniques) tels que : $b_i>a_i$ et $]a_i,b_i[=\emptyset$ pour tout $i\in\{1,2,3\}$.
En particulier on a : $a_1<b_1\leq a_2 <b_2 \leq a_3<b_3$.
Alors $]a_1,b_2[$ et $]a_2,b_3[$ sont des intervalles ouverts non vides disjoints de $E$.

Je pense qu'on peut généraliser quand on a beaucoup de $a_i$.

Glozi

Invité

Re : Topologie de l'ordre

Bonjour,

Encore une fois il me semble que$(\mathbb{R},\leq)$ est un contre exemple. La topologie est à base dénombrable, mais il y a une quantité non dénombrable d'intervalles ouverts ($I$ n'est pas dénombrable, et $K$ non plus).

Au fait c'est quoi une base minimum d'une topologie ?

Bonne journée

Glozi

Invité

Re : Topologie de l'ordre

Rebonjour,

J'ai l'impression que l'idée des points isolés marche, mais ce n'est pas ce qu'il y a de plus joli (bien qu'instructif je pense). De plus ça n'a pas l'air d'être l'idée de la preuve de Schwartz...

En y réfléchissant je crois avoir trouvé une preuve bien plus élégante (je trouve).
On a besoin des deux lemmes suivants :
$\textbf{Lemme 1 : }$Tout ouvert de $(E,\leq)$ est une union (a priori quelconque) d'intervalles ouverts disjoints $2$ à $2$.
$\textbf{Lemme 2 : }$Si $(E,\leq)$ admet une base dénombrable. Alors il n'existe aucune collection non dénombrable composée d'intervalles ouverts non vides disjoints $2$ à $2$.

Posons $(U_n)_{n\in \mathbb{N}}$ une base dénombrable quelconque de $E$.
Pour chaque $n$, alors $U_n$ est un ouvert de $E$ et donc par le lemme 1, s'écrit comme une union d'intervalles ouverts non vides disjoints de $E$. Par le lemme $2$ on peut supposer cette union est au plus dénombrable. Ainsi on trouve pour chaque $n$ des $a_i^n,b_i^n \in E$ tels que $U_n = \bigcup_{i\in \mathbb{N}}]a_i^n, b_i^n[$ (on peut choisir $a_i^n = b_i^n$ pour $i$ à partir d'un certain rang si nécessaire, si l'union était finie).

Alors la famille des $\{]a_i^n,b_i^n[, n,i\in \mathbb{N}\}$ est une base dénombrable de $E$ composée d'intervalles.

Le fait que ça marche provient essentiellement du fait que l'intersection de deux intervalles ouverts est encore un intervalle ouvert (pour prouver le lemme 1).

Eust_4che

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Re : Topologie de l'ordre

Re-bonjour tous le monde,

Désolé de ne pas avoir répondu plutôt (ces quelques jours étaient un peu chargé, et le temps file à une vitesse... piou...)

Glozi, j'ai compris la première preuve, mais je bloque sur le lemme 1. Si j'ai une réunion d'une famille d'intervalles $(I_\alpha)_{\alpha \in A}$, je ne vois pas comment la modifier pour obtenir des intervalles deux à deux disjoints, et sinon je ne vois pas quelles propriétés utiliser pour construire ces intervalles (comme dans le cas de $\mathbb R$, où on introduit les composantes connexes). Une indication ?

Encore merci,

E.

Dernière modification par yoshi (26-10-2022 19:22:01)

Glozi

Invité

Re : Topologie de l'ordre

Bonjour,

Tu veux dire la preuve avec les points isolés ?

Sinon pour le lemme 1 de mon dernier message : Soit $U$ est un ouvert de $(E,\leq)$. $a$,$b$ deux éléments de $U$ on dit que $a\sim b$ si $[\min(a,b),\max(a,b)] \subset U$. Vérifier que $\sim$ est une relation d'équivalence. Les classes d'équivalence sont certainement des intervalles.

C'est bien la même idée que les composantes connexes pour $\mathbb{R}$.

NB : attention, à quoi sert l'hypothèse $U$ ouvert ?

Bonne journée.

Glozi

Invité

Re : Topologie de l'ordre

Par ailleurs, maintenant que je me relis la notation $U_n = \bigcup_{i\in \mathbb{N}}]a_i^n, b_i^n[$ est très incorrecte. Cela sous entend que si $I$ est un intervalle ouvert de $(E,\leq)$ alors il peut s'écrire $I=]a,b[$ avec $a,b\in E$, ce qui est absolument faux. Il faut plutôt écrire $U_n = \bigcup_{i\in \mathbb{N}}I_i^n$. Avec $I_i^n$ des intervalles ouverts de $E$, (pour tout $n$ fixé les $(I_i^n)_{i\in\mathbb{N}}$ sont disjoints).

Je ne suis absolument pas calé dans ce domaine, il se peut que j'ai dit d'autres sottises...