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Vincent62

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Equivalence intégrabilité Riemann/Lebesgue

Bonjour,

J'ai une question : à quelle(s) condition(s) l'intégrale de Lebesgue est-elle égale à l'intégrale de Riemann ?

Si j'ai par exemple à intégrer au sens de Lebesgue une fonction continue f sur un intervalle I de R, est-ce qu eles intégrales coïncident ?
Je dirais que oui, car toute fonction continue sur un intervalle I de R est mesurable, et donc les deux intégrales sont égales. Bon, je n'arrive pas à m'en convaincre, j'ai l'impression que je loupe quelque chose...

Merci !

Glozi

Invité

Re : Equivalence intégrabilité Riemann/Lebesgue

Bonjour,

Déjà, pour commencer l'intégrale de Riemann n'est définie à priori que sur des segments $[a,b]$. Si tu prends une fonction $f$ continue (ou continue par morceaux si on veut) sur $[a,b]$, alors l'intégrale de Riemann permet de définir $\int_a^b f(x)dx$. En revanche si on veut intégrer une fonction $f$ continue sur intervalle plus général, par exemple $I=]0,1]$ alors on calcule les intégrales de Riemann sur $[\varepsilon, 1]$ puis on regarde si ces intégrales convergent encore vers quelque chose quand $\varepsilon \to 0$. On écrit par exemple $\int_0^1 \frac{dx}{\sqrt{x}} = \lim_{\varepsilon \to 0+} \int_\varepsilon^1 \frac{dx}{\sqrt{x}}$. On voit ici que la notion d'ordre sur $\mathbb{R}$ est importante pour l'intégrale de Riemann généralisée.

En revanche pour l'intégrale de Lebesgue on se moque de l'ordre qu'il y a sur $\mathbb{R}$. On définit d'emblée $\int_{]0,1]}\frac{dx}{\sqrt{x}}$. Plus généralement $A$ est un borélien de $\mathbb{R}$ alors pour définir l'intégrale de $f$ sur $A$, il faut et il suffit que $f$ soit intégrable, ie $\int_A |f| <\infty$. De plus si $f$ est intégrable sur $]0,1]$ alors par le théorème de convergence dominée (vive l'intégrale de Lebesgue) alors $\int_{[\varepsilon,1]}f(x)dx \xrightarrow[\varepsilon \to 0]{}\int_{]0,1]}f(x)dx$.

Avec l'intégrale de Riemann on peut définir $\int_0^\infty \frac{\sin(t)}{t}dt$ comme intégrale semi-convergente (c'est à dire la limite de $\int_0^x  \frac{\sin(t)}{t}dt$ lorsque $x\to \infty$) . Avec Lebesgue il n'est pas possible de définir $\int_{\mathbb{R_+}}\frac{\sin(t)}{t}dt$, car $t\mapsto \sin(t)/t$ n'est pas intégrable sur $\mathbb{R}_+$. Cependant ce n'est pas un problème, avec l'intégrale de Lebesgue on peut toujours définir $\int_0^\infty \frac{\sin(t)}{t}dt$ comme la limite de $\int_{[0,x]} \frac{\sin(t)}{t}dt$ lorsque $x\to \infty.$

Bref, l'intégrale de Lebesgue permet de définir davantage d'intégrales que l'intégrale de Riemann. Et pour vérifier que si l'intégrale de Riemann converge alors les deux intégrales coïncident. Il suffit de vérifier que c'est le cas sur un segment $[a,b]$ pour disons toute fonction $f\in \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})$ continue.
C'est à dire il suffit de montrer que $\int_a^b f(x)dx = \int_{[a,b]}f(x)dx.$
Là tu peux choisir la méthode de ton choix. Par exemple encadrer $f$ par des fonctions en escalier.

Bonne journée

Vincent62

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Re : Equivalence intégrabilité Riemann/Lebesgue

Merci Glozi !