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maths48

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Espace topologique et frontière

Bonsoir,

J'ai un exercice à faire :

X un espace topologique, A, B des parties de X. Montrer que fr(A) contient fr(intérieur de A). Que peut-on dire de fr(AuB) d'un côté et de fr(A) et fr(B) de l'autre ?

Voici ce que j'ai fait :

1. J'ai pensé à 3 cas : A ouvert : ici fr(A) est également à fr(intérieur de A) donc c'est bon.

A fermé : fr(A) = (adhérence de A privée de l'intérieur de A) = A \ intérieur de A  mais je ne vois pas comment continuer...

A non ouvert non fermé : (gros doute) soit x € intérieur(A). Donc x € fr(intérieur de A). Or intérieur(A) est inclus dans A. Donc fr(intérieur (A)) inclus dans fr(A).

2. J'ai fait un dessin. Est-ce une relation de type fr(AuB) = fr(A) + fr(B) - fr(A inter B) qu'on doit montrer ?

Pourriez-vous m'éclairer ?

Merci d'avance,
Bonne soirée

Glozi

Invité

Re : Espace topologique et frontière

Bonjour,

Pour la première question, attention dans le cas ou $A$ est non ouvert non fermé, ton argument me parait suspect, pourquoi prendre $x\in \mathring{A}$ au début ? Je te conseille plutôt de revenir à la définition de la frontière. Tu as d'un côté $\partial A = \overline{A}\setminus  \mathring{A}$ de l'autre $\partial \mathring{A} = \overline{\mathring{A}} \setminus \mathring{\mathring{A}}$.
Je pense que tu peux te convaincre que $\mathring{\mathring{A}} = \mathring{A}$. Il te reste à te convaincre d'une inclusion dans un certain sens entre $\overline{A}$ et $\overline{\mathring{A}}$ (ne pas se laisser impressionner par les notations, la preuve est rudimentaire).

Pour la seconde question, faire un dessin est une très bonne idée, cependant on peut facilement se faire piéger en oubliant des cas pathologiques : ta formule est très jolie mais attention : dans $\mathbb{R}$ muni de sa topologie usuelle, si $A=[0,1[$ et $B=[1,2]$ ta formule est erronée si je ne m'abuse (car $A\cap B =\emptyset$). Pire, si $A=B=[0,1]$ alors ta formule ne marche pas non plus.

Si j'en crois l'énoncé il faut simplement dire si tu as des inclusions ensemblistes ou des égalités qui relient les ensembles proposés. Typiquement il faut comparer $\partial(A\cup B)$ et $\partial A \cup \partial B$. Une seule inclusion est vraie en toute généralité. Un indice : montrer d'abord que $\overline{A\cup B} = \overline{A}\cup\overline{B}$.

Question bonus, montrer que si $A\cap\overline{B}=\emptyset$ (ou si $\overline{A}\cap B=\emptyset$) alors $\partial (A\cup B) = \partial A \cup \partial B$.

Bonne journée

Glozi

Invité

Re : Espace topologique et frontière

Petite erreur pour la question bonus, montrer que si $A\cap \overline{B}=\emptyset \textbf{ et } \overline{A}\cap B = \emptyset$ alors $\partial(A\cup B) = \partial A \cup \partial B$. (sinon mon contre exemple avec $A=[0,1[$ et $B=[1,2]$ est toujours un contre exemple).

Bonne journée

maths48

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Re : Espace topologique et frontière

Bonjour,

Merci de votre réponse !

Pour le cas A fermé : j'ai fait ceci, est-ce correct ?
https://www.cjoint.com/c/LJeoxpgTEHF

Pour le cas A non ouvert non fermé : J'ai fait ceci :
https://www.cjoint.com/c/LJeoraa8qgF
Qu'en pensez-vous ?

Pour la question 3 j'ai voulu montrer que fr(AuB) est inclus dans fr(A) u fr(B). J'ai fait ceci mais j'ai un doute pour l'implication :
https://www.cjoint.com/c/LJeomyRPfTF

Je n'ai pas montré que adhérence(AuB) = adhérence(A) u adhérence(B) puisqu'on l'a déjà montré en cours.

Dernière modification par maths48 (04-10-2022 15:23:08)

Glozi

Invité

Re : Espace topologique et frontière

Bonjour,

Tu as l'air d'avoir bien compris pour la première question. Cependant tu peux remarquer que tu n'as pas besoin de distinguer les cas $A$ ouvert, $A$ fermé, $A$ ni ouvert ni fermé. En réalité la preuve que tu as faite pour le dernier cas $A$ ni ouvert ni fermé est générale et marche aussi si $A$ est ouvert ou fermé. (de manière générale, je crois que l'hypothèse ni ouvert ni fermé est difficilement exploitable). Il est maladroit dans la rédaction finale de distinguer des sous cas inutiles.

Pour la deuxième (troisième ?) question, tu as raison de vouloir montrer $\partial (A\cup B)\subset \partial A \cup \partial B$. Cependant tu as écris $\partial A \cup \partial B = \overline{A}\cup\overline{B}\setminus (\mathring{A}\cup\mathring{B})$. Ceci est faux en général, essaye de trouver un contre exemple simple avec $A$ et $B$ deux intervalles de $\mathbb{R}$.

Pour montrer $\partial (A\cup B)\subset \partial A \cup \partial B$, donne toi $x\in \partial(A\cup B)$ alors .... puis ... et donc $x\in \partial A$ ou $x\in \partial B$. Tu y es presque je pense.

Bonne journée

maths48

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Re : Espace topologique et frontière

Merci pour la première question.

(troisième ?)

faute de frappe, il n'y a que deux questions !

J'ai fait ceci (retiré ce qui était faux en général) :

https://www.cjoint.com/c/LJetaGwQskF

J'avoue ne pas voir exactement ce qui se cache derrière le "donc"...

Bonne soirée

Glozi

Invité

Re : Espace topologique et frontière

Bonjour,

Je vois, tu as donc montré que si $x\in\partial (A\cup B)$ alors $x\in \overline{A}\cup\overline{B}\setminus (\mathring{A\cup B})$. En particulier $x\in \overline{A}\cup\overline{B}$ et donc $x\in \overline{A}$ ou $x\in \overline{B}$. Supposons par exemple que $x\in \overline{A}$ (on procède ici à une disjonction des cas), est-il possible que $x\in \mathring{A}$ ? (souviens toi d'où vient $x$) En déduire que $x\in \partial A$. Faire de même si au lieu de supposer $x\in \overline{A}$ on a supposé $x\in \overline{B}$. Essaye de mettre bout à bout tous les morceaux du raisonnement et d'écrire un texte propre et rigoureux.

(Au passage tu as trouvé un contre exemple pour $\partial A \cup \partial B = \overline{A}\cup \overline{B}\setminus (\mathring{A}\cup\mathring{B})$ ?)

Bonne journée

Jennie

Invité

Re : Espace topologique et frontière

Merci pour la première question.

(troisième ?)

faute de frappe, il n'y a que deux questions !

J'ai fait ceci (retiré ce qui était faux en général) :

https://www.cjoint.com/c/LJetaGwQskF

J'avoue ne pas voir exactement ce qui se cache derrière le "donc"...

Bonne soirée

Est il  possible de voir comment t as pu proceder  pour la reponse de cet exo

maths48

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Re : Espace topologique et frontière

Bonjour,

Tout d'abord, merci beaucoup Glozi j'ai bien compris avec cette explication ! Je n'ai pas encore trouvé de contre-exemple ais reviendrai ici quand j'en aurai un !

Jennie, je veux bien expliquer mais il me faudrait des questions précises pour y répondre...

Bonne journée