volume entre deux volumes

Vincent62 · 29-09-2022 11:13:03

Bonjour,

Voilà un genre d'exercice que je foire systématiquement.

J'essaye de calculer le volume situé entre le cône d'équation [tex]z^2=5x^2+5y^2[/tex] pour [tex]z[/tex] strictement positif et la sphère [tex]x^2+y^2 +z^2=2[/tex].

Déjà, comment voir et comprendre les domaines entre lesquels intégrer ? Ensuite, j'imagine qu'il faut passer par les coordonnées sphériques.
Je ne trouve pas le domaine d'intégration.

Quelles sont les questions à se poser dans ce genre de problème ?

Merci d'avance !

Zebulor · 29-09-2022 14:12:27

Bonjour,
j'ai quelques idées, sans prétendre que ce sont les meilleures. Je commencerais par ceci :
pour la sphère on s'intéresse donc au $z$ positifs, ce qui revient à s'intéresser au volume commun entre la demi sphère des $z$ positifs et le cône infini.
La sphère est de rayon $\sqrt{2}$, et le cône est infini avec $z$ est compris entre 0 et $+\infty$.
Si bien pour le domaine d'intégration $z$ varie entre 0 et $\sqrt{2}$ ...
Ensuite on peut chercher la valeur de $z$ pour laquelle le cône et la demi sphère ont une intersection. Cette dernière est un cercle dont on peut trouver le rayon $r$.
Ce qui revient à calculer la somme de deux volumes :
-celui d'un cône dont la base est un disque de rayon $R$
-et d'une calotte sphérique de rayon $r$ et d'une hauteur $h$ qu'on doit pouvoir trouver...

Quant au choix de coordonnées, j'opterais plutôt pour le cylindrique pour calculer le volume du cône et la calotte sphérique ..
Parce que par le système de coordonnées sphériques me semble inapproprié pour le calcul du volume de la calotte compte tenu de sa géométrie mais je me trompe peut être...

Dernière modification par Zebulor (06-10-2022 19:12:36)

Roro · 29-09-2022 19:56:41

Bonsoir,

Je complète la réponse de Zebulor en apportant mon idée : avant de passer en polaire ou sphérique, j'aurai simplement écrit que le volume correspond à celui du domaine $\Omega$ défini par
$$\Omega = \Big\{ (x,y,z)\in \mathbb R^3 \, ; \, (x,y)\in B_2(0,\frac{1}{\sqrt 3}) \quad \text{et} \quad \sqrt{5(x^2+y^2)} < z <\sqrt{2-(x^2+y^2)} \Big\}.$$

Une fois que le domaine est décrit de façon "simple" (à vérifier !), le calcul du volume n'est pas très difficile : il s'obtient par exemple par
$$V = \int_\Omega 1\, dxdydz = \int_{B_2(0,\frac{1}{\sqrt 3})} \Big( \int_{\sqrt{5(x^2+y^2)}}^{\sqrt{2-(x^2+y^2)}} 1 \, dz \Big) \, dxdy.$$

L'intégration en la variable $z$ est évidente. Ensuite, un changement en coordonnées polaire semble indiqué... et il faut sans doute travailler un peu pour évaluer les intégrales restantes, mais c'est un autre problème !

Roro.

Bernard-maths · 29-09-2022 20:32:51

Bonsoir !

Moi ... je fais une figure :

La sphère et le cylindre cône ont pour sommet commun O. Si on coupe par le plan (xOz), BOE délimite une une portion de cercle dont on peut calculer l'aire (après les coordonnées de B et E). On doit aussi pouvoir en trouver le centre de gravité, et sa distance à l'axe (z'z). Il restera alors à utiliser la bonne formule de calcul du volume engendré par rotation de 2 Pi autour de (z'z) ...

C'est loin et j'ai oublié les formules ... Mais c'est pour donner des idées, pas pour faire le travail à la place de Vincent62 !

Bernard-maths

PS : mes indications sont spéciales ici, et ne peuvent correspondre à un exercice d'intégration quelconque ...

Dernière modification par Bernard-maths (06-10-2022 20:30:05)

Vincent62 · 30-09-2022 16:27:57

Merci tout le monde pour vos points méthodologiques ! Cela va m'être plus qu'utile !

Vincent62 · 06-10-2022 18:05:28

Roro a écrit :

Bonsoir,
Je complète la réponse de Zebulor en apportant mon idée : avant de passer en polaire ou sphérique, j'aurai simplement écrit que le volume correspond à celui du domaine $\Omega$ défini par
$$\Omega = \Big\{ (x,y,z)\in \mathbb R^3 \, ; \, (x,y)\in B_2(0,\frac{1}{\sqrt 3}) \quad \text{et} \quad \sqrt{5(x^2+y^2)} < z <\sqrt{2-(x^2+y^2)} \Big\}.$$
Une fois que le domaine est décrit de façon "simple" (à vérifier !), le calcul du volume n'est pas très difficile : il s'obtient par exemple par
$$V = \int_\Omega 1\, dxdydz = \int_{B_2(0,\frac{1}{\sqrt 3})} \Big( \int_{\sqrt{5(x^2+y^2)}}^{\sqrt{2-(x^2+y^2)}} 1 \, dz \Big) \, dxdy.$$
L'intégration en la variable $z$ est évidente. Ensuite, un changement en coordonnées polaire semble indiqué... et il faut sans doute travailler un peu pour évaluer les intégrales restantes, mais c'est un autre problème !
Roro.

Bonsoir Roro,

En relisant vos messages, quelque chose m'interpelle concernant la boule [tex]B_2(0,\frac{1}{\sqrt 3})[/tex]. Pourquoi ce 1 ? A [tex]z[/tex] fixé, par exemple [tex]z_0\ge 0[/tex], on aurait [tex](x,y)\in B_2(0,\frac{z_0}{\sqrt 3})[/tex]. Qu'en pesnes-tu ?

Merci

Dernière modification par Vincent62 (06-10-2022 18:10:25)

Zebulor · 06-10-2022 19:03:22

Bonsoir,
simplement une précision, et je laisserai Roro te répondre pour ne pas interférer. $\frac {1}{\sqrt{3}}$ est en fait le rayon $R$ du cercle (qui délimite donc un disque) dont je parle dans mon premier post, que tu peux retrouver facilement en posant $R^2=x^2+y^2$ dans les 2 équations de ton post.
Ensuite il faut voir quel est la nature géométrique de $B_2$ et se le représenter dans la figure de Bernard.

Dernière modification par Zebulor (06-10-2022 19:41:21)

Roro · 06-10-2022 19:33:48

Bonsoir,

En fait, cela provient du choix que j'ai fait pour décrire l'ensemble dont tu cherches le volume.

Je l'ai décrit sous la forme $\{(x,y,z)\,;\, (x,y)\in E \; \text{et} \; z\in F(x,y)\}$, autrement dit je l'ai décrit en disant pour $(x,y)$ fixé, $z$ varie entre deux bornes qui dépendent de $(x,y)$.

Comme tes deux surfaces (sphère et cône) sont définies par des équations de la forme $z=...$ c'est assez naturel. En fait, on aurait pu ne pas imposer de conditions sur $(x,y)$ mais pour $(x,y)$ en dehors de $B(0,\frac{1}{\sqrt 3})$ il n'y aura aucun $z$ tel que $\sqrt{5(x^2+y^2)}<z<\sqrt{2-(x^2+y^2)}$...

Vincent62 a écrit :

[...] A [tex]z[/tex] fixé [...]

Ce que tu suggères est de décrire différemment l'ensemble, par exemple en le décrivant par 'tranches' horizontales : $\{(x,y,z)\,;\, z\in G \; \text{et} \; (x,y)\in H(z)\}$.

Cette dernière option est un peu plus délicate (mais possible) puisque chaque tranche sera un disque dont le rayon n'est pas si évident à trouver.

Roro.

Vincent62 · 07-10-2022 04:07:57

Merci Roro, c'est plus que clair !

Zebulor · 07-10-2022 05:49:17

re,
la méthode de Roro consiste à sommer des volumes élémentaires $dx dy (\sqrt{5(x^2+y^2)}-\sqrt{2-(x^2+y^2)})$ qui sont parallélépipèdes de base $dx dy$, de hauteur $\sqrt{5(x^2+y^2)}-\sqrt{2-(x^2+y^2)}$.

Je trouve $26,56$ degrés de demi ouverture de cône au lieu des $24,09$ de Bernard...

Bernard-maths · 07-10-2022 06:52:34

Bonjour à tous !

@ Zebulor : l'angle trouvé est donné par GeoGebra ! Je ne l'ai pas calculé ... mais il devrait être juste, SI ma figure est juste ... à vérifier ?

B-m

Dernière modification par Bernard-maths (07-10-2022 06:53:20)

Zebulor · 07-10-2022 08:07:14

Bonjour à tous,
@Bernard : merci pour cette précision. :-). En fait je me suis trompé cet angle de Géogebra est juste,
c'est $arctan(\frac {1}{\sqrt{5}}$).

Mais en utilisant les coordonnées sphériques est ce qu'on a pas plus simplement :
à partir du volume élémentaire en coordonnées sphériques :
$dv=r^2drsin(\theta)d\theta d\phi$ ,d'où :

$V= \int_0^{+\sqrt{2}} r^2 dr \int_0^{+arctan(\frac {1}{\sqrt{5}})} sin(\theta) d\theta \int_0^{2\pi} d\phi$

Dernière modification par Zebulor (09-10-2022 12:49:33)

Bernard-maths · 07-10-2022 11:15:17

Re,

@ Zebulor ... si thêta est l'angle "vertical", il me semble qu'il doit varier de 180° - 24°09 à 180° ...

peut-être à une symétrie près ?

Je ne suis pas sûr, c'est loin pour moi !

B-m

Zebulor · 07-10-2022 11:25:35

Re,
@Bernard :
pour moi $\theta$ est l'angle formé par l'axe Oz et le vecteur $\overrightarrow{OB}$ de ton dessin. Je viens de voir mais ce $\theta$ correspond à ton $\alpha$.
De sorte que tu as un trièdre direct $(u_r,u_\theta,u_\phi)$ associé en chaque point M(x;y;z) dont les coordonnées s'expriment en fonction des coordonnées sphériques.
Dans le volume d'intégration : $r d\theta$ correspond au déplacement suivant le vecteur $u_\theta$, $dr$ à celui suivant $u_r$ et $r sin(\theta) d\phi$ celui suivant $u_\phi$.
$sin(\theta)$ correspond à une projection sur le plan xOy
Il y a plusieurs repères sphériques possibles.
C'est loin aussi pour moi mais ..ça revient

https://www.bibmath.net/formulaire/inde … intpolaire

Dernière modification par Zebulor (09-10-2022 02:56:01)

Bernard-maths · 07-10-2022 11:30:56

Re,

oui mais alors ce sont les "références" de la formule d'intégration que je ne saisis pas bien du tout ...

Pour moi, thêta doit être compté du plan (xOy) vers le haut ... ?

B-m

Zebulor · 07-10-2022 11:33:46

non. $\theta$ est compté depuis l'axe vertical vers le bas. C'est la colatitude. $\phi$ est la longitude et $r$ l'altitude à rayon de sphère près..

Dernière modification par Zebulor (07-10-2022 14:59:04)

Zebulor · 09-10-2022 09:19:52

re,

Vincent62 a écrit :

J'essaye de calculer le volume situé entre le cône d'équation [tex]z^2=5x^2+5y^2[/tex] pour [tex]z[/tex] strictement positif et la sphère [tex]x^2+y^2 +z^2=2[/tex].

le volume est $\dfrac {2^{\frac {5}{2}}\pi}{3}(1-\sqrt{\frac {5}{6}})$ environ 0.516139 qu'on peut retrouver par le théorème de Guldin

Dernière modification par Zebulor (09-10-2022 09:21:00)

Vincent62 · 11-10-2022 07:12:42

Roro a écrit :

Bonsoir,
En fait, cela provient du choix que j'ai fait pour décrire l'ensemble dont tu cherches le volume.
Je l'ai décrit sous la forme $\{(x,y,z)\,;\, (x,y)\in E \; \text{et} \; z\in F(x,y)\}$, autrement dit je l'ai décrit en disant pour $(x,y)$ fixé, $z$ varie entre deux bornes qui dépendent de $(x,y)$.
Comme tes deux surfaces (sphère et cône) sont définies par des équations de la forme $z=...$ c'est assez naturel. En fait, on aurait pu ne pas imposer de conditions sur $(x,y)$ mais pour $(x,y)$ en dehors de $B(0,\frac{1}{\sqrt 3})$ il n'y aura aucun $z$ tel que $\sqrt{5(x^2+y^2)}<z<\sqrt{2-(x^2+y^2)}$...
Vincent62 a écrit :
[...] A [tex]z[/tex] fixé [...]
Ce que tu suggères est de décrire différemment l'ensemble, par exemple en le décrivant par 'tranches' horizontales : $\{(x,y,z)\,;\, z\in G \; \text{et} \; (x,y)\in H(z)\}$.
Cette dernière option est un peu plus délicate (mais possible) puisque chaque tranche sera un disque dont le rayon n'est pas si évident à trouver.
Roro.

Bonjour,

Je reviens sur ce fil, car je trouve 1,35 pour le volume, ce qui n'est pas correct.
Je me rends compte qu'en utilisant les coordonnées polaires, j'ai considéré que l'angle \theta varié de 0 à 2\pi, ce qui est sûrement faux.
Cependant, je ne vois pas comment déterminer l'angle \theta, ou en tout cas son domaine de définition.

Pouvez-vous m'indiquer la méthode ?

Aussi, finalement, n'est-il pas plus simple de passer en coordonnées sphériques ?

Zebulor · 11-10-2022 08:06:23

Rebonjour,
les coordonnées sphériques me semblent les mieux adaptées, à moins que quelque chose m'ait échappé !

https://fr.wikipedia.org/wiki/Coordonn% … 3%A9riques

Attention le $\theta$ de mon calcul n'est pas celui de Roro, le sien correspond sur Terre à la longitude

Dernière modification par Zebulor (11-10-2022 10:53:41)

Roro · 11-10-2022 08:06:48

Bonjour,

Si je reprend mon premier post (en espérant que ce soit correct) :

Roro a écrit :

$$V = \int_{B_2(0,\frac{1}{\sqrt 3})} \Big( \int_{\sqrt{5(x^2+y^2)}}^{\sqrt{2-(x^2+y^2)}} 1 \, dz \Big) \, dxdy.$$

On peut ensuite directement écrire
$$V = \int_{B_2(0,\frac{1}{\sqrt 3})} \Big( \sqrt{2-(x^2+y^2)} - \sqrt{5(x^2+y^2)} \Big) \, dxdy.$$

En passant en coordonnées polaires :
$$V = 2\pi \int_0^{\frac{1}{\sqrt 3}} \Big( \sqrt{2-r^2} - \sqrt{5}r \Big) r\, dr.$$
puis [...] sauf erreur [...],
$$V = \frac{4\pi}{9}(3\sqrt 2 - \sqrt{15}) \approx 0.516139$$

Roro.

Dernière modification par Roro (11-10-2022 08:07:15)

Zebulor · 11-10-2022 10:46:19

re,
dans ce qu'a fait Roro $2\pi r dr$ est l'aire d'une couronne d'axe Oz de rayon intérieur $r$, de rayon extérieur $r+dr$.
Et $2\pi rdr \Big( \sqrt{2-r^2} - \sqrt{5}r \Big)$ le volume élémentaire d'un "tuyau" de hauteur $\Big( \sqrt{2-r^2} - \sqrt{5}r \Big)$ engendré par cette couronne..
Et son calcul est correct !

Dernière modification par Zebulor (11-10-2022 10:54:10)

Vincent62 · 11-10-2022 12:12:33

D'accord, merci !
Bon, il faut vraiment s'exercer sur ce genre d'intégrales pour s'y sentir à l'aise !

Zebulor · 11-10-2022 13:48:12

re,
le choix du bon meilleur système de coordonnées n'est pas toujours simple, et dépend de la géométrie de la figure. Dans ton cas les coordonnées sphériques présentent l'avantage d'être indépendantes, et les bornes d'intégration simples.
En effet ça nécessite un peu d'habitude..

Zebulor · 13-10-2022 16:17:50

Bonjour,

Roro a écrit :

Ce que tu suggères est de décrire différemment l'ensemble, par exemple en le décrivant par 'tranches' horizontales : $\{(x,y,z)\,;\, z\in G \; \text{et} \; (x,y)\in H(z)\}$.
Cette dernière option est un peu plus délicate (mais possible) puisque chaque tranche sera un disque dont le rayon n'est pas si évident à trouver.
Roro.

Pour ceux que ça intéresse j'y reviens en coordonnées cylindriques $(\vec {u_\rho},\vec {u_\theta},\vec {u_z})$me semble t il :
le volume élémentaire est $\rho d\rho d\theta dz$

sauf erreur le volume cherché $V = \frac{4\pi}{9}(3\sqrt 2 - \sqrt{15}) \approx 0.516139$ est la somme $V_1+V_2$ telle que :

$V_1$ est le volume du cône :
*$V_1=\int dV$ où $dV=\pi r^2 dz$ : volume d'un disque de rayon $r$ d'épaisseur $dz$, avec $r=z \dfrac {1}{\sqrt{5}}$. D'où $dV=\pi \dfrac {z^2}{5} dz$ qu'on intègre ensuite entre 0 et $\sqrt{\frac {5}{3}}$ :
$V_1= \dfrac{\pi}{9}\sqrt {\dfrac{5}{3}} \approx 0.45064207$

*et $V_2$ celui de la calotte sphérique :
$V_2=\int dV$ où $dV=\pi r^2 dz=\pi (2-z^2) dz$ qu'on intègre ensuite entre $\sqrt{\dfrac {5}{3}}$ et $\sqrt{2}$

$V_2$ vaut $ \dfrac{\pi}{9}(12\sqrt 2 - 13\sqrt{\dfrac{5}{13}}) \approx 0.06549694$.

J'ai utilisé le théorème de Pythagore pour exprimer $r$ en fonction de $z$

Finalement cette sommation par 'tranches horizontales' n'est pas si compliquée... en coordonnées cylindriques du moins...

Dernière modification par Zebulor (14-10-2022 10:08:19)

Zebulor · 26-10-2022 08:16:39

re,
encore une autre manière de voir les choses inspirée de ceci :

https://www.bibmath.net/dico/index.php? … lotte.html

Une calotte sphérique à distance $a$ du point O a pour aire $2\pi*a*(a-a*cos(arctan(\frac {1}{\sqrt{5}})))$.

Le volume s'obtient par intégrale : $\int_{0}^{\sqrt{2}}\,2\pi*a*(a-a*cos(arctan(\frac {1}{\sqrt{5}}))) da \approx 0.5161$

Forum de mathématiques - Bibm@th.net

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volume entre deux volumes

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Re : volume entre deux volumes

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Re : volume entre deux volumes

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Re : volume entre deux volumes

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Re : volume entre deux volumes

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Re : volume entre deux volumes

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Re : volume entre deux volumes

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Re : volume entre deux volumes

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Re : volume entre deux volumes

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#24 13-10-2022 16:17:50

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#25 26-10-2022 08:16:39

Re : volume entre deux volumes

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