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htina

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convergence

Bonjour,
on considère la suite [tex](\varphi_n)[/tex] définie par[tex] \varphi_n(x)=\varphi(x+n)[/tex] telle que[tex] \varphi \in\mathcal{D}(\R).[/tex]
La question est d'étudier la convergence simple, la convergence dans [tex]\mathcal{D}[/tex], la convergence dans[tex] \mathcal{D'}[/tex], et la convergence dans [tex]L^1(\R)[/tex], de la suite[tex] (\varphi_n)[/tex].

Pour la convergence simple, on fixé[tex] x \in \R,[/tex] et puisque[tex] \varphi[/tex] est une fonction test, lorsque[tex] n[/tex] va vers[tex] $+\infty, $\varphi_n[/tex] converge simplement vers 0.

Pour la suite, ma question est la suivante: on sait que [tex]\mathcal{D}(\R) \hookrightarrow L^1(\R) \hookrightarrow \mathcal{D'}(\R), où \hookrightarrow[/tex] note une injection continue.
Par qui faut il commencer, de sorte à pouvoir déduire les autres convergences à partir d'une étude.

Fred

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Re : convergence

Cela dépend de ce que tu espères prouver. Si tu espères prouver la convergence vers 0, il suffit de la faire dans [tex]\mathcal D(\mathbb R)[/tex] et tu déduiras les autres résultats. Si tu espères prouver la divergence, il suffit de le faire dans [tex]\mathcal D'(\mathbb R)[/tex].

Fred.