Intégration par partie

Joan94 · 10-11-2014 16:32:32

Ce message à été modifié.
Bonjour,j'ai tenté de faire cet exercice mais il me donne du fil à retordre.

Le voici:

Calculer les primitives de (a) et (b) suivante:

(a)I(x)= [tex] \int (lnx) d(x)[/tex]
(b) J(x)=[tex]\int (lnx)^2 d(x)[/tex]( au moyen d'une intégration par partie).
Montrer que [tex]\int_ \frac{1}{2}^ 2 \frac{lnx}{1+x^2}d(x)=0[/tex] ,on peut poser u=1/x.

Et voici ce que j'ai écris:
Le (a) peut être calculer grâce à une intégration par partie.
En effet I(x)= [tex] \int (lnx) d(x)[/tex]=[tex] \int 1*(lnx) d(x)[/tex]=[tex] \int u'v =uv-\int v'u [/tex].
Et si u'=1 et v=lnx,alors [tex] \int 1*(lnx) d(x)[/tex]=[tex]x*lnx- \int \frac{1}{x}*x d(x)[/tex].
On je devrais donc faire une seconde intégration pour trouver le résultat
Cette intégration:[tex]\int \frac{1}{x}*x d(x)[/tex] .
Et l'intégrale donne: xlnx-x.

Puis concernant le (b),on a [tex]\int (lnx)^2 d(x)[/tex]=[tex]\int 1(lnx)^2 d(x)[/tex]
Et en posant u'=1 ;u=x;v=(lnx)² et v'=2lnx/x on obtient:

[tex]\int (lnx)^2 d(x)[/tex]=[tex] x (lnx)^2-\int \frac{2lnx*x}{x}= x(lnx)^2-\int2lnx= x(lnx)^2-2x lnx+2x d(x)[/tex]
En se servant de la primitive de lnx trouvé précedement " xlnx-x".

Cependant pour le dernier cas,je n'ai rien trouvé car je ne comprend pas pourquoi ils disent de choisir u=1/x.

Dernière modification par Joan94 (11-11-2014 18:42:46)

Arnold2244 · 10-11-2014 16:59:02

Bonjour.
En fait, je comprends plurquoi tu tournes en rond parce que la dernière integrale est
plus simple a calculer : les x se simplifient ça donne 1 . La primitive fait X.
Donc I(x) = xlnx -x.

totomm · 10-11-2014 17:04:01

Bonjour,

Il n'y a pas lieu de se noyer...[tex]\int \frac{1}{x}*x d(x)=\int dx=x+constante[/tex] .

pour évter de me tromper j'écris toujours dans l'ordre :
u=... u'=.....
v=... v'=.....
j'écris alors uv-(le produit en diagonale non utilisé)

Arnold224 · 10-11-2014 17:25:44

Arnold2244 a écrit :

Bonjour.
En fait, je comprends pourquoi tu tournes en rond parce que la dernière integrale est
plus simple a calculer : [tex]\int \frac{1}{x}*x dx = \int 1 dx = x [/tex].
Donc I(x) = [tex]\int ln(x) dx = xlnx - x[/tex]
A l'avenir, tache de poser plutot :
u = lnx v' = 1
u' = [tex]\frac{1}{x}[/tex] v= x
Et tu auras u'v= uv - v'u

Joan94 · 10-11-2014 18:06:29

totomm a écrit :

Bonjour,
Il n'y a pas lieu de se noyer...[tex]\int \frac{1}{x}*x d(x)=\int dx=x+constante[/tex] .
pour évter de me tromper j'écris toujours dans l'ordre :
u=... u'=.....
v=... v'=.....
j'écris alors uv-(le produit en diagonale non utilisé)

Effectivement,c'est évident ce que tu dit,x/x=1!

Bon bin je suivrais ton conseil,merci :)

Joan94 · 10-11-2014 18:09:11

Arnold224 a écrit :

Arnold2244 a écrit :
Bonjour.
En fait, je comprends pourquoi tu tournes en rond parce que la dernière integrale est
plus simple a calculer : [tex]\int \frac{1}{x}*x dx = \int 1 dx = x [/tex].
Donc I(x) = [tex]\int ln(x) dx = xlnx - x[/tex]
A l'avenir, tache de poser plutot :
u = lnx v' = 1
u' = [tex]\frac{1}{x}[/tex] v= x
Et tu auras u'v= uv - v'u

Effectivement,bien plus simple ^^,ok je poserais ça mieux parce sinon je ne verrais pas le bout du tunnel.
Merci :)

Arnold224 · 10-11-2014 18:28:47

De rien ! ;)

Joan94 · 11-11-2014 17:36:05

Arnold224 a écrit :

De rien ! ;)

:)

Joan94 · 11-11-2014 19:08:25

Puis concernant le (b),on a [tex]\int (lnx)^2 d(x)[/tex]=[tex]\int 1(lnx)^2 d(x)[/tex]
Et en posant u'=1 ;u=x;v=(lnx)² et v'=2lnx/x on obtient:

[tex]\int (lnx)^2 d(x)[/tex]=[tex] x (lnx)^2-\int \frac{2lnx*x}{x}= x(lnx)^2-\int2lnx= x(lnx)^2-2x lnx+2x d(x)[/tex]
En se servant de la primitive de lnx trouvé précédemment " xlnx-x".

Cependant pour le dernier cas,je n'ai rien trouvé car je ne comprend pas pourquoi ils disent de choisir u=1/x.

totomm · 11-11-2014 20:10:27

Bonsoir,,

Ne vous fatiguez pas, si vous re-écrivez [tex]\int_{0.5}^2{\frac{\ln(x)}{1+x^2}}dx[/tex] en posant [tex]u=\frac{1}{x}[/tex]

Vous retrouvez la même formule avec un signe moins en re-affichant les limites de l'intégrale en du de 0.5 à 2
(parce que ln(x) = -ln(u) et la dérivée de [tex]\frac{1}{x}[/tex] introduit aussi un signe - , donc seules les limites d'intégration sont échangées)

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