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Arnold2244

Invité

Formule des complements

Bonjour.

J'essaie depuis 2jours de démontrer la formule des compléments:  [tex]\beta(a, 1-a)= \frac{\pi}{\sin(\pi a)}[/tex].

Je pars d'abord du fait que [tex]\beta  (a, 1-a) = \int_0^1 \frac{x^{a-1} + x^{-a}}{1 + x}[/tex] .

En considerant la serie geometrique [tex]S = \frac {1}{1+x} = 1 - x +x^{2} - x^{3} + .....[/tex]
Puis en multipliant chaque terme de la serie par [tex]x^{a-1}[/tex] et apres integration terme a terme, on trouve que
[tex]\int_0^1 \frac{x^{a-1}}{1+x} = \sum_{k=0}^{k=\infty}\frac{-1^{n}}{a+n}[/tex] .
En faisant de meme pour [tex]x^{-a}[/tex], on obtient que[tex] \int_0^1 \frac{x^{-a}}{1+x} = \sum_{k=1}^{k=\infty}\frac{-1^{n}}{a-n}[/tex]

En sommant les deux expressions, on obtient : [tex]\beta  (a, 1-a) = \int_0^1 \frac{x^{a-1} + x^{-a}}{1 + x}  = \sum_{n\in\mathbb{Z}}\frac{1}{x -n}[/tex]

reste a evaluer la derniere somme.
On utilise le produit de Euler [tex]\frac{\sin(\pi x)}{\pi x} = \prod_{n=1}^{n=\infty}\left(1-\frac{x^{2}}{n^{2}}\right)[/tex]

En prenant la derivee logarithmique, on a
[tex]\pi\cot(\pi x) = \sum_{n\in\mathbb{Z}}\frac{1}{x-n}[/tex]
Maintenant mon probleme, cest d'obtenir le [tex]\frac{\pi}{\sin\pi x}[/tex], car on me donne lindication
comme quoi [tex]\csc (x) = \cot (x/2) - \cot (x)[/tex] et je ne sais comment l'utiliser pour aboutir au resultat.

Merci d'avance pour votre et excusez les quelques erreurs probables du code latex
Avec la tablette, j'ai un peu de mal.

Dernière modification par yoshi (10-11-2014 12:51:34)

Fred

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Re : Formule des complements

Pourrais-tu donner exactement l'énoncé de ton problème, car j'ai un peu de mal à suivre toutes les étapes....

Fred.

Arnold224

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Re : Formule des complements

D'accord.
L'énoncé dit ceci :
[tex]\beta (a, 1-a) = \int_0^\infty \frac{x^{a-1}}{1+x}dx =\int_0^1\frac{x^{a-1} + x^{-a}}{1+x} dx[/tex].
Demontrer que [tex] \beta (a, 1-a) = \frac{\pi}{\sin\pi a}[/tex].
1) Montrer que [tex]\beta(a, 1-a) = \sum_{n\in\mathbb{Z}} \frac{(-1)^{n}}{a-n}[/tex]
      Indication : utliser la serie geometrique [tex]\frac{1}{1+x}[/tex]
2) Evaluer [tex]\sum_{n\in\mathbb{Z}}\frac{(-1)^{n}}{a-n}[/tex] à l'aide du produit de Euler  [tex]\sum_{n=1}^{\infty}(1-\frac{x^{2}}{n^{2}})[/tex]
3) Puis, partant de la relation [tex]cosec(x) = \cot(\frac{x}{2}) - \cot (x)[/tex],
      deduire que [tex]\frac{\pi}{\sin(\pi x)} = \sum_{n\in\mathbb{Z}}\frac{(-1)^{n}}{x-n}[/tex]
En deduire la formule des complements.

Maintenant moi j'arrive au 2 et je trouve [tex]\pi\cot(\pi x) = \sum_{n\in\mathbb{Z}}\frac{1}{x-n}[/tex].
Comment utiliser la relation [tex]cosec(x) = \cot(\frac{x}{2}) - \cot(x)[/tex] ?
J'essaie mais en vain... Ils arrivent au même résultat que moi mais sans details, ils trouvent la solution avec la formule de cosec....

Dernière modification par Arnold224 (10-11-2014 18:47:50)

Arnold224

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Re : Formule des complements

Dans le premier message j'ai fait une erreur : c'est plutot
[tex]\beta (a, 1-a) = \int_{n\in\mathbb{Z}}\frac{x^{a-1} + x^{-a}}{1+x}dx = \sum_{n=0}^{n=\infty}\frac{(-1)^{n}}{a-n}[/tex]

Dernière modification par Arnold224 (10-11-2014 19:50:26)

Fred

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Re : Formule des complements

Je crois avoir compris ce que tu as manqué.
Tu pars de ta formule donnant [tex]\textrm{cotan}(\pi x)[/tex]. Tu as alors
[tex]\pi\textrm{cotan}(\pi x/2)-\pi\textrm{cotan}(\pi x)=\sum_{n\in \mathbb Z}\left(\frac 1{\frac x2-n}-\frac 1{x-n}\right)=\sum_{n\in\mathbb Z}\left(\frac{2}{x-2n}-\frac 1{x-n}\right).[/tex]
Tu veux écrire cette somme sous la forme plus simple :
[tex]\sum_{k\in\mathbb Z}\frac{a_k}{x-a_k}[/tex] et tu te demandes que doit valoir [tex]a_k[/tex]. Tu distingues alors deux cas :
* si k est pair, il apparait deux fois dans la somme [tex]\sum_{n\in\mathbb Z}\left(\frac{2}{x-2n}-\frac 1{x-n}\right)[/tex] : pour n=k/2 (avec une contribution de 2) et pour n=k (avec une contribution de -1) : d'où [tex]a_k=1[/tex] si k est pair.
* si k est impair, il n'apparait qu'une seule fois dans la somme [tex]\sum_{n\in\mathbb Z}\left(\frac{2}{x-2n}-\frac 1{x-n}\right)[/tex], pour n=k, avec une contribution de -1, donc [tex]a_k=-1[/tex].

F.