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Bruno

Invité

Espace complétant un autre espace.

Bonjour à tous,

Y'a-t-il quelques propriétés intrinsèques communes entre les concepts suivants ou quelques uns d'entre eux :

- [tex] \mathbb{Q} [/tex] complète [tex] \mathbb{Q}_p [/tex].
- [tex] \hat{\mathbb{Z}} [/tex] complète [tex] \mathbb{Z} [/tex].
- le faisceautisé [tex] \hat{\mathcal{F}} [/tex] d'un préfaisceau [tex] \mathcal{F} [/tex] complète ce dernier ( i.e : [tex] \hat{ \mathcal{F} } [/tex] complète [tex] \mathcal{F} [/tex])
- [tex] \mathbb{R} [/tex] complète [tex] \mathbb{Q} [/tex].
- Un espace de Hilbert complète un espace pré-Hilbertien.
- La tribu borélienne complète la tribu de Lebesgue.
- La mesure de Lebesgue complète la mesure de Borel - Lebesgue.
- Le corps des nombres algébriques [tex] \overline{\mathbb{Q}} [/tex] complète [tex] \mathbb{Q} [/tex] ( Clôture algébrique ).
- Si [tex] U [/tex] est un ouvert d'un espace topologique [tex] X [/tex], alors le fermé [tex] \overline{U} [/tex] complète [tex] U [/tex].

Merci d'avance.

Choukos

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Re : Espace complétant un autre espace.

Bonjour,
Je pense que tu essayes de voir des liens parfois là où il y a aucune raison d'en avoir : les différentes manières de compléter [tex]\mathbb{Q}[/tex] et par exemple "tribu borélienne complète la tribu de Lebesgue"... Ici ce que tu entends par "complète" n'a, à mon avis, rien à voir.

Tu peux choisir de "compléter" [tex]\mathbb{Q}[/tex] en lui rajoutant ses limites de Cauchy pour une valeur absolue sur [tex]\mathbb{Q}[/tex]. Je ne vois pas pourquoi cette notion de complétude aurait un quelconque rapport avec le fait que la tribu des Lebesgue-mesurables contienne la tribu des boréliens.
Dans le premier cas, le terme de complétude me semble adéquat car on évoque des suites de Cauchy, dans le second par contre c'est juste une inclusion ensembliste...

Ce que je veux dire, c'est que "complète" n'a pas le même sens dans beaucoup de tes affirmations... Tu veux forcer des liens entre des choses qui n'en ont pas en utilisant artificiellement le terme "complète".

Dernière modification par Choukos (25-10-2014 00:20:28)

Bruno

Invité

Re : Espace complétant un autre espace.

Bonjour Choukos :

Merci de m'avoir envoyer ton avis sur le sujet :

Je pense que j'ai mal exprimé ma question :

Je voulais savoir si on peut exprimer toutes les différentes notions de complétion ( ou complétude ) à l'aide de problèmes universelles :

Excuse moi d'avoir choisi un exemple inadéquat ( celui de la tribu borélienne par rapport à la tribu de Lebesgue ). Je voulais simplement parlé de tribu complétée d'une tribu quelconque.

Je modifie donc ma question pour qu'elle deviennent assez claire :

Est ce que tous les complétés d'objets que j'ai cité plus haut représente un foncteur précis ?

Par exemple, est ce que [tex] ( \overline{U} , i ) [/tex] avec [tex] i : U \to \overline{U} [/tex] un morphisme à déterminer vérifie la propriété universelle suivante : pour tout ouvert V pour toute application continue [tex] f : U \to V [/tex], [tex] f [/tex] se prolonge en un unique application [tex] \overline{f} : \overline{U} \to V [/tex] tel que le diagramme suivant : [tex] f = \overline{f} \circ i [/tex] commute.

La même chose pour le reste des exemples que j'ai cité plus haut.

Merci d'avance.

Bruno

Invité

Re : Espace complétant un autre espace.

Pour le cas de la tribu complétée [tex] \hat{\mathcal{A}} [/tex] d'une tribu [tex] \mathcal{A} [/tex] d'un espace mesuré [tex] ( E , \mathcal{A} , \mu ) [/tex], voiçi comment je vois les choses :
[tex] (( E , \hat{\mathcal{A}} , \hat{\mu} ) , i )  [/tex] avec [tex] i [/tex] à déterminer; vérifie la propriété universelle suivante :
- [tex] \forall (F , \mathcal{B} , \nu ) [/tex] un espace mesuré, [tex] \ \forall f : ( E , \mathcal{A} , \mu ) \to ( F , \mathcal{B} , \nu ) [/tex] une fonction mesurable, il existe une unique fonction mesurable [tex] \overline{f} : ( E , \hat{\mathcal{A}} , \hat{\mu} ) \to ( F , \mathcal{B} , \nu ) [/tex] telle que le diagramme suivant commute : [tex] f = \overline{f} \circ i [/tex].

Bruno

Invité

Re : Espace complétant un autre espace.

Je cherche plus précisément, à faire la distinction entre la notion de complétion et la notion de problème universelle. Est ce que toutes les cas de complétions que nous retrouvons en mathématiques : complétion d'un espace vectoriel, ou d'un espace pré hilbertien, ou d'un espace tensoriel ou d'un espace pré-Hilbertien, ou d'un corps ... etc sont des cas particuliers de problèmes universelles, ou c'est le contraire, un problème universelle n'est autre que la notion de complétion ?
Par exemple, est ce que le problème universelle suivant : [tex] ( \mathbb{Z} / n \mathbb{Z} , \pi : \mathbb{Z} \to \mathbb{Z} / n \mathbb{Z} ) [/tex] n'est autre que la complétion de l'espace [tex] \mathbb{Z} [/tex] ? Il me semble que non. C'est pourquoi j'ai besoin de distinguer entre ces deux notions : complétion d'un espace et problème universelle. Avez vous des explications à me faire ?

J'espère que je suis clair maintenant dans mes propos.

Merci d'avance.

freddy

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Re : Espace complétant un autre espace.

Salut,

c'est quoi, les problèmes "universelles" ? Un des grands problèmes de notre temps est de bien s'assurer du sens des termes qu'on utilise, merci.

Bruno

Invité

Re : Espace complétant un autre espace.

Salut freddy :

J'ignore pour le moment ce que veut dire un problème universelle. Je sais simplement ce que ça veut dire solution d'un problème universelle. Une solution d'un problème universelle est la donnée d'un couple : [tex] ( M , \varphi ) [/tex] tel que [tex] \forall ( N , f ) [/tex] [tex] \exists [/tex] un unique isomorphisme entre [tex] (M , \varphi ) [/tex] et [tex]( N , f )[/tex]. La solution d'un problème universelle dans une catégorie, est donc le représentant d'une classe d'isomorphismes constituée d' (objets,morphisme) d'une catégorie. non ? Qu'est ce que vous pensez de cette définition ?

Merci d'avance.

Bruno

Invité

Re : Espace complétant un autre espace.

Bonjour,

Est ce qu'il y'a quelqu'un prêt à répondre aux intrigues de ce sujet que j'ai cités plus haut ?

Merci d'avance.

Bruno

Invité

Re : Espace complétant un autre espace.

Une question apparemment stupide :
Pour qu'on parle de complétion o complétude d'un espace, il est nécessaire que l'espace en question soit muni d'une métrique, non ?
Merci d'avance.

Choukos

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Re : Espace complétant un autre espace.

Bonjour,
Pour moi complet ça veut dire "toute suite de Cauchy converge" donc il me faut une métrique. Après pourquoi pas parler de complétude dans un sens plus large mais je ne t'ai pas compris...

Bruno

Invité

Re : Espace complétant un autre espace.

Bonjour Choukos :

Pour moi, la complétion signifie le fait de combler les trous ou le vide qui manquent à l’intérieur d'un espace. [tex]\mathbb{Q}[/tex] n'est pas complet, il contient des petits espaces qui ne sont pas encore occupés par aucun objet. Pour devenir complet et changer de nom pour en adopter  un autre qui est [tex]\mathbb{R}[/tex], on a besoin d'une métrique pour les atteindre.
Si on prend un autre exemple où la notion de métrique n'intervient pas, on trouve des espaces incomplets où on a besoin de compléter les espaces vides qu'ils contiennent dans leurs intérieurs.
J'ai cité comme exemple, le faisceautisé d'un préfaisceau. On a pas besoin d'une métrique pour compléter un préfaisceau et le rendre un faisceau. Est ce que donc là, on a comblé des troues dans le préfaisceau qui lui a permis de devenir un faisceau ? Et quels sont ces trous.

Merci d'avance.

Choukos

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Re : Espace complétant un autre espace.

Bonsoir,
Je dois avouer être dépassé, je ne connais rien à la théorie des faisceaux. Par contre j'ai envie de rejoindre freddy sur le fait que ton problème est, je pense, trop vague, du moins je ne le comprends pas. Désolé.