Forum de mathématiques - Bibm@th.net

mona123

Invité

function measurable

Hi,

can someone please help me to prove this equivalence:

Let f be a function with measurable domain E ⊂ Rn.
Define a function g on Rn by g(x) = f(x) for x ∈ E and g(x) = 0 for x /∈ E.
Show that f is measurable if and only if g is measurable.

Thanks in advance.

Fred

Administrateur

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Messages : 7 352

Re : function measurable

Let [tex]B[/tex] be a measurable set.
You have two cases :
1. either [tex]0\in B[/tex]. Then [tex]g^{-1}(B)=f^{-1}(B)\cup E^c[/tex] which also implies [tex]f^{-1}(B)=g^{-1}(B)\cap E[/tex]. Since [tex]E,E^c[/tex] are measurable, this implies that  [tex]g^{-1}(B)[/tex] is measurable if and only if [tex]f^{-1}(B)[/tex] is measurable.
2. either [tex]0\notin B[/tex]. Then [tex]g^{-1}(B)-f^{-1}(B)[/tex] so that [tex]g^{-1}(B)[/tex] is measurable if and only if [tex]f^{-1}(B)[/tex] is measurable.

Fred.

nsanzamahoro

Invité

Re : function measurable

la composée d'une fonction par elle même étant mesurable, cela implique toujours  que la fonction en question est mesurable? Sinon puis je avoir un contre exemple prouvant que ce n'est pas toujours vraie?

Fred

Administrateur

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Messages : 7 352

Re : function measurable

Bonjour nsanzamahoro,

  Ton message viole les deux règles de notre forum :
* D'abord, sur ces forums, on se dit bonjour
* Ensuite, on ne pose qu'une seule question par discussion... Il aurait fallu ouvrir une discussion nouvelle plutôt que de parasiter celle-là.

Bon, comme je suis de bonne humeur, je vais quand même te répondre. La réponse est non. Considère [tex]B[/tex] une partie non mesurable et [tex]a,b\notin B[/tex]. Définis [tex]f[/tex] par [tex]f(x)=a[/tex] si [tex]x\in B[/tex] et [tex]f(x)=b[/tex] sinon. Alors [tex]f^{-1}(\{a\})=B[/tex] et donc [tex]f[/tex] n'est pas mesurable. En revanche, [tex]f\circ f[/tex] est la fonction constante égale à a, donc est mesurable.

Fred.