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fabricen26

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Test uniformement plus puissant.

Bonjour,
Voici un problème qui me perturbe depuis très longtemps.
Soient X une v a normalement distribuée de moyenne [tex] \mu[/tex] et  [tex]c\in\mathbb{R}[/tex].
Soit le test défini par
[tex]  H_0\; :\; \mu\leq -c \quad VS\quad H_1\; :\; \mu\geq -c , [/tex]   [tex]\alpha[/tex] le risque de première espèce.
Soient [tex]X^n=(X_1,\dots,X_n)[/tex] un n échantillon i.i.d de même loi que X et  [tex]IC_\gamma=[T_1(X^n\gamma),T_2(X^,\gamma)][/tex]  un intervalle de confiance de niveau  [tex]1-\gamma[/tex]  symétrique de [tex]\mu[/tex].
  Posons  [tex]\phi(X^n)= 1_{\left\lbrace T_1(X^n,\gamma)\leq- c \right\rbrace }[/tex]
  Montrer que :
[tex]  Si \quad \exists \gamma \in ]0,1[ \qquad \textrm{tel que} \quad \mathbb{E}[\phi(X^n)]=\alpha,[/tex]   alors  [tex]\phi(X^n)[/tex]
est un test uniformément plus puissant de niveau [tex] \alpha[/tex] 

   Merci de m'aider à résoudre ce problème.

freddy

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Re : Test uniformement plus puissant.

Salut,

C'est quoi, tes  statistiques [tex]T_1(X^n,\gamma)[/tex] et [tex]T_2(X^n,\gamma)[/tex] ?
Quel est le lien entre [tex]\mu[/tex] et [tex]\gamma[/tex], s'il y en a un ?
Quant à [tex]H_1[/tex], on doit écrire [tex]\mu \gt - c[/tex]

En bref, pourrais-tu mieux expliquer où se situe ton problème ?

fabricen26

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Re : Test uniformement plus puissant.

Salut,
[tex]T_1(X^n,\gamma)[/tex]  et [tex]T_2(X^n,\gamma)[/tex] sont les bornes de l'intervalle de confiance.
Il n'y a pas de lien entre [tex]\mu[/tex]  et [tex]\gamma[/tex]. [tex]\gamma[/tex] est juste le niveau de l'intervalle de confiance de [tex]\mu[/tex].
Oui sur [tex]H_1[/tex]  on a bien [tex]H_1 \;:\; \mu >−c[/tex]
Mon problème est de montrer que  [tex]\phi(X^n)[/tex] est un test uniformément plus puissant.

Merci de votre aide

freddy

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Re : Test uniformement plus puissant.

Re,

Ok compris, on te demande d'établir un résultat en général. A ce niveau, je ne vais pas faire le travail à ta place, ce serait contre-productif.
Donc montre moi comment tu penses t'y prendre, et je te donnerai des indications au fur et à mesure.
Et surtout, sois rigoureux !