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Raoul722

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Anneau quotient polynôme

Bonjour à tous,

Je vous écris parce que je me replonge un peu dans l'algèbre et j'ai un peu du mal avec les anneaux quotients.
Dans un cours, une petite question qui permet de s'assurer que l'on a compris le "principe" me met dans le doute.

En effet on me demande de décrire l'ensemble [tex]A=\mathbb{F}_{2}[X]/(X^3+1)[/tex]
Alors si je ne dis pas de bêtise, [tex]A[/tex] représente l'ensemble des restes possible pour une division par le polynôme [tex](X^3+1)[/tex].
[tex]A[/tex] a donc 7 éléments qui sont : [tex]1; X; X+1; X^2; X^2 + 1; X^2 + X; X^2 + X + 1[/tex].

Je viens vers vous afin d'avoir confirmation sur ma compréhension de la chose.

D'avance merci ! :)

Fred

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Re : Anneau quotient polynôme

C'est presque cela.  Il te manque aussi le zéro!
Mais la structure d'anneau n'est rien sans les opérations qui vont avec. Alors, quel est le résultat de [tex]X\times(X^2+X+1)[/tex]???

Fred.

Raoul722

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Re : Anneau quotient polynôme

Bonjour Fred et merci beaucoup pour ta réponse,

Et oui il manquait donc 0 ! Je me disais bien qu'il devait y avoir [tex]2^3[/tex] éléments mais je ne comprenais pas pourquoi je n'en trouvais donc que 7...

Alors pour faire mon petit fayot, [tex]X \times (X^2 + X +1)[/tex] vaut le reste de la division de [tex]X^3 + X + 1[/tex] par [tex]X^3+1[/tex] soit [tex]X[/tex]. C'est bien ça ?

Merci encore :)

Fred

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Re : Anneau quotient polynôme

Parfait :-)

freddy

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Re : Anneau quotient polynôme

Salut,

je ne comprends pas bien la réponse.

Pour moi, on a [tex]X\times(X^2+X+1)=X^3+X^2+X=X^2+X+1[/tex] puisque [tex]X^3+1=0[/tex]. Je veux bien me tromper, mais où, je ne vois pas !

Fred ?

freddy

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Re : Anneau quotient polynôme

Re,

dans la même veine, on sait que [tex]X^3+1 = (X+1)\times(X^2+X+1)[/tex] puisque :

[tex](X+1)\times(X^2+X+1)=X^3+X^2+X+X^2+X+1=X^3+0\times X^2+0\times X + 1= X^3+1=0[/tex] dans l'anneau considéré.

Fred

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Re : Anneau quotient polynôme

Tu as raison!!!! Je n'avais pas vérifié le résultat de sa multiplication, juste vérifié qu'il avait bien fait la division euclidienne....

F.

freddy

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Re : Anneau quotient polynôme

Salut Fred,

merci, tu me rassures. Je suis un peu diminué en ce moment (yoshi te racontera) donc je suis très attentif à ce que je fais car je ne suis plus trop à l'abri d'une défaillance (je l'ai encore vérifié récemment !). Cela ne devrait pas trop durer, mais je me méfie de moi comme tu ne peux pas imaginer.

Du coup, je me disais que je voyais pas tout, j'ai cogité un long temps (de manière fractionné) et pour tout te dire, j'ai profité de la gentillesse de deux jeunes collègues centraliens vendredi soir pour m'assurer que je ne déraisonnais pas. C'est dire combien je me sens "diminué" :-))).

A plus !

Raoul722

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Re : Anneau quotient polynôme

Ah ben j'avais tout faux :O

Merci en tout cas pour ces précisions !