Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Gon

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exponentielle

Salut!
Je galère pour comprendre ceci:

[tex] 1-e^{ix} = e^{i \frac{x}{2}} \times sin ( \frac{x}{2})[/tex]

Comment obtient-on cette égalité,pour passer de gauche à droite ?? (C'est dans la correction dans exo qui n'indique aucune étape intermédiaire :/ )

Merci!

Dernière modification par Gon (23-06-2014 15:39:25)

MathRack

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Re : exponentielle

Salut,

On peut multiplier les 2 membres de l'équation par [tex]exp\left( -\tfrac{ix}{2} \right)[/tex]. Ça donne  -2 = 1 par contre... C'est bizarre d'ailleurs, peut-être une erreur de calcul de ma part.

MathRack

Dernière modification par MathRack (23-06-2014 15:04:07)

yoshi

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Re : exponentielle

Salut,

Bienvenue à bord !

Je mets [tex]e^{i\frac x 2}[/tex] en facteur et j'obtiens
[tex]1-e^{ix} =e^{i\frac x 2}(e^{-i\frac x 2}-e^{i\frac x 2})=e^{i\frac x 2}\left[\cos\left(-\frac x 2\right)+i\sin\left(-\frac x 2\right)-\cos\left(\frac x 2\right)-i\sin\left(\frac x 2\right)\right][/tex]
D'où :
[tex]1-e^{ix} =e^{i\frac x 2}\left[\cos\left(\frac x 2\right)-i\sin\left(\frac x 2\right)-\cos\left(\frac x 2\right)-i\sin\left(\frac x 2\right)\right]=-2ie^{i\frac x 2}\sin\left(\frac x 2\right)[/tex]

Au passage, par exemple, si je prends [tex]x=\pi[/tex] et que je teste ton égalité
* [tex]1-e^{ix} = 1-e^{i\pi} = 1-(-1) =2[/tex]
* [tex]e^{i\frac x 2}\sin\left(\frac x 2\right) = e^{i\frac {\pi}{2}}\sin\left(\frac {\pi}{2}\right)=i\sin\left(\frac {\pi}{2}\right).\sin\left(\frac {\pi}{2}\right)=i[/tex]

Mais avec mon résultat :
[tex]-2ie^{i\frac {\pi}{2}}\sin\left(\frac {\pi}{2}\right) = -2i\left(i\sin\left(\frac {\pi}{2}\right).\sin\left(\frac {\pi}{2}\right)\right)= 2[/tex]
ça colle  !
Donc, j'aimerais bien être sûr de l'énoncé...

@+

Gon

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Re : exponentielle

Merci Yoshi !!

C'est vrai, l'énoncé était un peu incomplet..., l'énoncé total était [tex]\frac{quelque-chose -  de -  similaire} {membre -  de   - gauche  -  de -     l'égalité} [/tex] donc les (-2i) s'en vont !

Je m'en souviendrai, la prochaine fois j'écrirai tout, encore merci!

Dernière modification par Gon (23-06-2014 15:58:03)

yoshi

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Re : exponentielle

Salut,

Content que tu sois content...
Il me semble bien qu'il y a un rapport entre cette question et l'autre sujet que tu as posté.. ^_^
J'espère que la lumière va jaillir !
Là, je dois m'absenter...

@+

Gon

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Re : exponentielle

Bonne soirée !