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Joan94

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Racine cubique d'un complexe

Bonjour,j'ai fais cet exercice:
a)Résoudre dans C l'équation z³+8=0.
b)Donner la forme exponentiel de z.
c)calculer la racine cubique de z1=4+4i

Pour la question a) on a z=-2 mais c'est une racine réel,on cherche les racine complexes nous donc on sait que z³+8=0 et quand on factorise ça on obtient:
(z+2)(z²-2z+4)=0 alors sont z-2= ou z²+2z+4=0 dans le premier ca z=2; et dans le deuxième c'est une équation du second degré et delta=-12 donc z1= 1-i √3 et z2=1+i √3.
Ensuite le module de z1=|z1|=|z2|= √4=2 et θ=-π/3 pour z1 et pour z2,θ=π/3 donc les deux solutions réels sont z1=z1= 1-i √3=z1=2*exp(-i*pi/3)et z2= 1+i√3=2*exp(i*pi/3).
Ensuite
Alors dans le c),z1=4+4i donc |z1|=racine de32=4racine de2. Ensuite l'argument(l'angle) théta= pi/4+2kpi

Donc on a z1=4racine de2*exp(i*pi/4+2kpi) mais vu ke c'est la racine cubique,n'est appartient à 0,n-1 donc 0,2"(3-1)".
donc pour k=0;zo= (racine cubique de(4racine de 2),pour k=1,z1= (racine cubique de(4racine de 2)*exp(i*3pi/4),z2= (racine cubique de(4racine de 2)*exp(i*5pi/12).

Fred

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Re : Racine cubique d'un complexe

Bonsoir,

  J'ai un peu de mal à déchiffrer ce que tu as écrit. Les idées semblent bonnes, mais je rédigerais la question c) un peu autrement.
D'abord, on met [tex]4+4i[/tex] sous forme trigonométrique. On doit donc résoudre l'équation

[tex]z_1=4\sqrt 2e^{i\pi/4}[/tex] (je n'ai pas vérifier les calculs....)
Ensuite, tu ne dois pas calculer "la" racine cubique de [tex]z_1[/tex], mais "les" racines cubiques car il y en a 3.

Pour cela, on doit résoudre l'équation [tex]z^3=4\sqrt 2e^{i\pi/4}[/tex] . Pour cela, on écrit [tex]z=re^{i\theta}[/tex] sous forme trigonométrique, et on doit résoudre
[tex]r^3e^{i3\theta}=4\sqrt 2e^{i\pi/4}[/tex].

Par égalité de deux nombres complexes sous forme exponentielle, ceci est vrai si et seulement si

[tex]r=\sqrt[3]{4\sqrt 2}[/tex] et il existe [tex]k\in\mathbb Z[/tex] tel que
[tex]3\theta=\frac\pi 4+2k\pi\iff \theta=\frac{\pi}{12}+\frac{2k\pi}3[/tex]

Les valeurs k=0,1,2 te donnent les 3 solutions.

Fred.