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Jyjy

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Changement de variables Lebesgue

Bonjour,

Dans un contrôle j'ai été amené à calculer le produit de convolution de [tex] f = \mathbb{X}_{[-1;1]}[/tex] et de [tex]p_n= \frac{n}{2}*\mathbb{X}_{[-\frac{1}{n};\frac{1}{n}]} [/tex].

On a donc le calcul suivant :

[tex]p_n*f(x)=\int_\mathbb{R}\,\mathbb{X}_{[-1;1]}(t)\frac{n}{2}*\mathbb{X}_{[-\frac{1}{n};\frac{1}{n}]}\,(x-t)d\lambda_t
                     =\frac{n}{2}\int_{-1}^{1}\,\mathbb{X}_{[-\frac{1}{n};\frac{1}{n}]}\,(x-t)\,dt[/tex]

Ensuite on fait un changement de variable, on va donc poser [tex]y=x-t[/tex] et donc [tex]dy=-dt[/tex]

Et là est mon problème , on ré-introduit donc dans notre intégrale en mettant [tex]-dy[/tex] à la place de [tex]dt[/tex].

Ne sommes nous pas censé prendre seulement [tex]dy[/tex] car on prend la valeur absolue d'après les formules classiques , ie. [tex]dy=|-1|dt [/tex] .

Ce qui me tracasse c'est que dans mon cours de probabilité on utilise toujours la valeur absolue ou le déterminant  mais jamais dans mon cours de calcul intégral .

Merci d'avance !

Roro

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Re : Changement de variables Lebesgue

Bonjour,

Quand tu fais le changement de variable [tex]y=1-t[/tex], tu dois effectivement changer dy par [tex]|-1|dt=dt[/tex] mais il faut aussi changer le domaine d'intégration : [tex](-1;1)[/tex] devient [tex](1;-1)[/tex], autrement dit en faisant le changement de variable, tu as aussi changer l'orientation de ton segment... d'où le -1 que tu récupères à nouveau !

Roro.

Jyjy

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Re : Changement de variables Lebesgue

Le changement de variable est [tex]y=x-t[/tex] et non [tex]y=1-t[/tex] !

Du coup pour les bornes on obtient [tex](x+1 ; x-1)[/tex] , on les "retourne" ce qui nous fait apparaître en effet le " - "

Si je suis cette méthode j'obtiens comme intégrale :
[tex]\frac{n}{2}\int_{-1}^{1}\,\mathbb{X}_{[-\frac{1}{n};\frac{1}{n}]}\,(x-t)\,dt = \frac{n}{2}\int_{x+1}^{x-1}\,\mathbb{X}_{[-\frac{1}{n};\frac{1}{n}]}\,(y)\,dy = -\frac{n}{2}\int_{x-1}^{x+1}\,\mathbb{X}_{[-\frac{1}{n};\frac{1}{n}]}\,(y)\,dy [/tex]

Sauf que dans ma correction les intégrales ont le signe opposé .

Je passe peut-être à côté de quelques choses aussi car je n'ai pas eu de chapitres à proprement parler sur le changement de variables dans l'intégrale de Lebesgue.

Mon résultat me paraît absurde vu que mon intégrale devient négative ce qui n'est pas normal .

Dernière modification par Jyjy (08-05-2013 15:41:31)

Fred

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Re : Changement de variables Lebesgue

Le changement de variable est [tex]y=x-t[/tex] et non [tex]y=1-t[/tex] !

Du coup pour les bornes on obtient [tex](x+1 ; x-1)[/tex] , on les "retourne" ce qui nous fait apparaître en effet le " - "

Si je suis cette méthode j'obtiens comme intégrale :
[tex]\frac{n}{2}\int_{-1}^{1}\,\mathbb{X}_{[-\frac{1}{n};\frac{1}{n}]}\,(x-t)\,dt = \frac{n}{2}\int_{x+1}^{x-1}\,\mathbb{X}_{[-\frac{1}{n};\frac{1}{n}]}\,(y)\,dy = -\frac{n}{2}\int_{x-1}^{x+1}\,\mathbb{X}_{[-\frac{1}{n};\frac{1}{n}]}\,(y)\,dy [/tex]

Non. Dans la première égalité, si tu ne changes pas directement l'ordre des bornes, alors tu ne dois pas écrire [tex]dy[/tex],
mais [tex]-dy[/tex].

Fred.

Jyjy

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Re : Changement de variables Lebesgue

Merci de vos réponses , j'ai enfin compris !
Honte à moi de m’emmêler sur des choses qui sont aussi basiques .