Matrice

samo12 · 02-05-2013 14:47:49

Salut, j'ai besoin de vos aides :
Comment je montre que L'ensemble des matrices inversibles de dimension 4 et de déterminant égal à 1 est homéomorphe à [tex]S^1\times R^2[/tex]? merci d'avance

Dernière modification par samo12 (02-05-2013 14:57:56)

Fred · 02-05-2013 21:28:19

Salut,

Je pense que c'est assez difficile. Pourquoi veux-tu savoir cela?

F.

sylphynx · 03-05-2013 07:32:05

bonjour sans vouloir embrouiller et je m'en remet à la moderation ...
sinon excusez désolé
à mon avis tu peut déjà commencer (bon évidemment commencer)en montrant une bijection continue entre l'ensemble de tes matrices ainsi décrites et l'ensemble des matrices A[n-p]
telles que idem elles sont de determinant 1
et telles qu'en plus
[tex]\sum_{i=1}^{i=4}a_{i1}.a_{i,2}\ = 0[/tex]
[tex]\sum_{i=1}^{i=4}a_{i1}.a_{i,3}\ = 0[/tex]
[tex]\sum_{i=1}^{i=4}a_{i1}.a_{i,4}\ = 0[/tex]
[tex]\sum_{i=1}^{i=4}a_{i2}.a_{i,3}\ = 0[/tex]
[tex]\sum_{i=1}^{i=4}a_{i2}.a_{i,4}\ = 0[/tex]
[tex]\sum_{i=1}^{i=4}a_{i3}.a_{i,4}\ = 0[/tex]

[tex]\sum_{i=1}^{i=4}a_{i1}^2\ = 1[/tex]
[tex]\sum_{i=1}^{i=4}a_{i2}^2\ = 1[/tex]
[tex]\sum_{i=1}^{i=4}a_{i3}^2\ = 1[/tex]
[tex]\sum_{i=1}^{i=4}a_{i4}^2\ = 1[/tex]

en fait l'ensemble de tes matrices A sont des rotations de la base canonique de [tex]R^4[/tex]

est-ce que ça t'aiderai pour la suite si tu commence en faisant ça?
il te restera à faire le plus dur évidemment

sinon à part ça j'ai bien compris?
S1 l'ensemble des complexes de module 1
R^2 là tu veut dire l'ensemble des nombres complexes en fait c'est ça?

sylphynx · 03-05-2013 12:33:04

si tu prefere manipuler à partir de ces matrices A qui sont des rotations de la base canonique de [tex]R^4 [/tex]
tu doit donc demontrer que si E est l'ensemble des matrices 4X4 de determinants 1(donc inversibles) alors il existe une bijection continue dans l'ensemble des bases definies par ces matrices A

une demo pas tres courte mais bon ... par recurence mais bon là je sais pas il y a surement moins prise de tête là désolé...
pour toute matrice
[tex] M \ =\ \begin {pmatrix} m_{11} &m_{12} &m_{13} &m_{14} \\ m_{21} &m_{22} &m_{23} &m_{24} \\ m_{31} &m_{32} &m_{33} &m_{34} \\ m_{41} &m_{42} &m_{43} &m_{44} \end {pmatrix}\ \in \ E [/tex]
tu construit donc une base A definie selon(donc selon les propriétées definies sur le precedent post
[tex] A \ =\ \begin {pmatrix} a_{11} &a_{12} &a_{13} &a_{14} \\ a_{21} &a_{22} &a_{23} &a_{24} \\ a_{31} &a_{32} &a_{33} &a_{34} \\ a_{41} &a_{42} &a_{43} &a_{44} \end {pmatrix} [/tex]

tu n'a qu'a montrer que tu peut en construire une et tu donne la méthode
je note pour tout vecteur [tex] \vec X [/tex] non nul de [tex] R^4[/tex] son vecteur unitaire par [tex]\vec X\ ' [/tex]donc X' = X / ||X||
je note les quatres vecteurs
[tex]\vec Mj = (m_{1j}\ ,\ m_{2j}\ ,\ m_{3j}\ ,\ m_{4j}) [/tex]
et les quatre vecteurs
[tex]\vec Aj = (a_{1j}\ ,\ a_{2j}\ ,\ a_{3j}\ ,\ a_{4j}) [/tex]

pour le premier
[tex]\vec A1\ =\ \vec M1\ ' [/tex] cad donc le vecteur unitaire de [tex]\vec M1 [/tex]

pour le deuxieme [tex]\vec A2[/tex] et avec le produit scalaire euclidien definit positif noté .
je pose le vecteur [tex] \vec X \ =\ M1^2.M2\ -\ (M1.M2).M1[/tex]
[tex]\vec A2\ =\ \vec X \ ' [/tex] cad donc le vecteur unitaire de [tex]\vec X [/tex]

pour le troisieme [tex]\vec A3[/tex]
tu pose la loi de composition interne que tu note * pour tout vecteur de [tex] R^4[/tex]
selon X * Y = Z et [tex] \vec Z \ =\ X^2.Y\ -\ (X.Y).X[/tex]

tu pose le vecteur X1 selon X1 = A1*M3 puis le vecteur X2 = A2 * X1 ' donc en utilisant le vecteur unitaire de X1
pour obtenir
[tex]\vec A3 \ = X2 '[/tex] est donc le vecteur unitaire de X2

enfin pour le dernier [tex]\vec A4[/tex]
tu pose le vecteur X1 selon X1 = A1*M4 puis le vecteur X2 = A2 * X1 ' puis le vecteur X3 = A3 * X2 '
donc avec les vecteurs unitaires de X1 et X2
pour obtenir
[tex]\vec A4 \ = X3 '[/tex] est donc le vecteur unitaire de X3

tu a construit ta base A
et tu demontre son determinant 1 et toutes les autres propriétées definies sur le post precedent

à partir de là tu peut commencer le reste

Dernière modification par sylphynx (03-05-2013 14:23:09)

sylphynx · 03-05-2013 14:43:09

si tu te sert de ces bases A pour faire ta démo ce que je ferai à ta place mais je le suis pas et je suis pas qualifié
il faut quand même que tu sache que si elles sont de determinant 1 et non pas de valeurs -1 c'est uniquement parce que tu a posé comme condition de depart que tes matrices etaient de determinant 1(en fait que leurs determinants etaient strictements positif-cela suffit pour la condition)
si tu essaye d'en construire une selon la meme methode à partir d'une matrice ayant un determinant quelconque non nul et negatif tu obtiendra une matrice de determinant -1 au cas où tu en ai besoin pour un autre "truc"
la demo tu est obligee de la faire pour demontrer que tes bases A sont des rotations de la base canonique de R^4 c'est pas encourageant vu que tu doit faire tout le reste car tu commence vraiment à partir de là et la suite doit pas être tres sympas

ps j'ai corrigé une faute de frappe du second post
bon j'en ai pas vu d'autre

bon courage Samo12

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