Fonctions

soso · 21-04-2013 18:13:44

Bonjour!
J'ai fait un petit exo, pouvez-vous me dire si c'est bon?

Sujet:

[tex]D_h=[0;+\infty[[/tex]
[tex]h(x)=xe^x-2e^x+2[/tex]=[tex](x-2)e^x+2[/tex]

1)[tex]\lim_{x \to +\infty} (x-2)=+\infty[/tex]
[tex]\lim_{x \to +\infty} e^x[/tex]=[tex]+\infty[/tex]

Par produit [tex]\lim_{x \to +\infty} h(x)= +\infty[/tex]

2)[tex]\forall[/tex] x € [tex][0;+\infty[[/tex]
[tex]h'(x)=e^x+xe^x-2e^x=-e^x+xe^x=(-1+x)e^x[/tex]

Comme [tex]e^x[/tex]>0, h a le signe de -1+x
x-1=0 donc x=1

Signe de h'
Sur [0;1] h'(x)<0 avec h'(1)=0
Sur [tex][1;+\infty [/tex] h'(x)>0

Ce qui entraîne
Sur [0;1] h croissante avec h(1)=-e+2
Sur [tex][1;+\infty[[/tex] h décroissante

3)a) Sur [tex][1;+\infty[[/tex] la fonction(ou la courbe?) est strictement croissante et continu car dérivable. De plus, l'intervalle image [tex]]-e+2;+\infty][/tex] contient 0. Donc l'équation h(x)=0 admet une unique solution alpha.

b) [tex]1.5<\alpha<1.6[/tex]

c) Sur [tex]]0;\alpha[[/tex] h(x)<0
Sur [tex][\alpha;+\infty[[/tex] h(x)>0
Je le vois avec la calculatrice mais ...comment le démontrer ? Telle est la question!

PARTIE B

1)a)[tex]f'(x)=\frac{e^xx²-(e^x-1)2x}{x^4}[/tex]
Puis avec la simplification je retombe sur le résultat.

C'est là que les choses se corsent..

b)....
c) Début des recherches:
[tex]h(\alpha)=0[/tex]
[tex]f(\alpha)=0?[/tex]

PARTIE C

1)b) [tex](u_n)[/tex] est croissante et converge vers 1.7

2)h(x)=0
[tex]\Longleftrightarrow[/tex][tex]xe^x-2e^x+2=0 [/tex]
[tex]\Longleftrightarrow[/tex] [tex]2-2e^x[/tex]=[tex]-xe^x[/tex]

3)....

4) Récurrence

Initialisation
[tex]u_1=1[/tex]
[tex]u_2=2-e^{-2} \backsimeq 1.72[/tex]
1[tex]\eqslantless u_1\eqslantless u_2\eqslantless \propto[/tex]

L'inégalité est vrai pour P(1)

Hérédité: On suppose qu'il existe un certain n tel que 1[tex]\eqslantless u_1\eqslantless u_2\eqslantless \propto[/tex]

On applique g et comme g est croissante le signe ne change pas. On a
g(1)[tex]\eqslantless g(u_1)\eqslantless g( u_2) \eqslantless g(\propto)[/tex]

[tex]\backsimeq[/tex]
[tex]\eqslantless u_{n+1}\eqslantless ( u_{n+2} \eqslantless \propto[/tex]
L'inégalité est héréditaire.

Conclusion 1[tex]\eqslantless u_1\eqslantless u_2\eqslantless \propto[/tex]

b) La suite est croissant et majorée par [tex]\propto[/tex]. On pose l sa limite .....

c) Comme g(x)=x alors g(l)=l

Merci d'avance

yoshi · 21-04-2013 19:31:52

Bonsoir,

Signe de h'
Sur [0;1] h'(x)<0 avec h'(1)=0
(...)
Ce qui entraîne
Sur [0;1] h croissante avec h(1)=-e+2
(...)

T'as pas l'impression d'avoir écrit une sottise ?

Avant cela, c'est ok !

Je regarde la suite.

@+

yoshi · 21-04-2013 20:12:59

Re,

Q3a)
T'as appris à faire comme ça en classe ?
Pourquoi pas...
Moi j'aurais plutôt invoqué le théorème des gendarmes, sachant que
* [tex]h(1)=-e+2 <0[/tex]
* [tex]\lim_{x \mapsto +\infty} h(x)=+\infty[/tex]
* h est croissante et continue sur [0 ; +oo[
Donc, il existe [tex]\alpha[/tex] dans [0 ; +oo[ tel que [tex]h(\alpha)=0[/tex]

Q3c)
C'est pourtant évident
h croissante
[tex]h(1) <0[/tex] et [tex]h(\alpha=0)[/tex]
Conclusion pour le signe de h(x) pour [tex]x \in\,[0\;;\;\alpha[[/tex] ?
[tex]h(\alpha=0)[/tex] et [tex]h(+\infty)>0[/tex]
Conclusion pour le signe de h(x) pour [tex]x \in\,[\alpha\;;\;+\infty[[/tex] ?

Partie B
1b) C'est assez sioux !
Tu sais que [tex]h(x) = xe^x-1e^x+2[/tex]
Tu vas exprimer [tex] e^x[/tex] en fonction de h(x) et x...
Dans la "formule" de f(x), tu remplaces alors [tex]e^x[/tex] par l'expression trouvée ci-dessus. Tu simplifies.
Ensuite tu écris [tex]f(\alpha)[/tex] (et tu n'oublies pas que [tex]h(\alpha)=0[/tex] !)
Tu simplifies à nouveau...

To be continued.....

La suite à demain...
Si un couche tard passe par là, libre à lui de continuer...
Restent les parties B (à finir) et C

@+

Dernière modification par yoshi (21-04-2013 20:30:50)

freddy · 21-04-2013 22:13:57

Salut,

je précise un peu. On sait que [tex]h(\alpha)=e^{\alpha}(\alpha-2)+2 = 0[/tex] donc [tex]e^{\alpha}-1=\frac{-2}{(\alpha-2)}-1=\frac{-\alpha}{(\alpha-2)}[/tex]

Par suite [tex]f(\alpha) = \frac{e^{\alpha}-1}{\alpha^2} = \frac{-1}{\alpha(\alpha-2)}[/tex]

freddy · 21-04-2013 22:29:30

Re,

Partie C.

On a [tex]u_1=1,\, u_2=2(1-\frac{1}{e}) =1,2642...,\, u_3 = 1,4351...,\, u_4 = 1,5238 ...[/tex] On pressent une suite monotone croissante.

Par ailleurs, puisque [tex]g(x)=2-\frac{2}{e^x}[/tex] tend vers 2 quand x tend vers l'infini, on peut conjecturer que la suite est bornée. Donc, convergente.

[tex] h(x)=e^x(x-2)+2 = 0 \Leftrightarrow -2e^{-x} = x-2 \Leftrightarrow 2-2e^{-x}=x[/tex] soit [tex]g(x)=x[/tex]

...

Dernière modification par freddy (21-04-2013 22:30:29)

yoshi · 22-04-2013 10:48:39

Ave

@freddy

je précise un peu.

Nan, tu proposes une variante à laquelle je n'ai pas pensé mais qui est plus simple...
Cela dit je n'exagère pas non plus la complication de ma proposition.
Soso, élève de Terminale S et postulante au titre de Bachelière doit, avec un plan fourni, pouvoir venir à bout des deux.
Comme dans ton cas, il n'y a pas de plan fourni, mais sa mise en œuvre, je vais lui proposer de venir à bout du plan que je lui ai fourni.

@soso
Dans un de tes exercices précédents, on t'avait fourni une expression de y en fonction de x et on te demandait une expression de x en fonction de y : tu avais eu un mal de chien à y arriver.
Tu as maintenant l'occasion de montrer que tu as retenu la méthode.

Je t'ai proposé un plan d'exécution.
C'est un poil plus compliqué que ce que t'a proposé freddy, d'accord, mais :
* uniquement parce qu'il y a (un peu) plus de calcul,
* tu es en TS, et donc, tu dois pouvoir venir à bout de ce type de calcul littéral.
Bizarre que la partie B comporte un 1. sans 2.

Partie C
Je te fournis un dessin -incomplet- sans explication pour le placement de u1,u2,u3,u4 graphiquement sur l'axe des x sans calcul...
Comprends-tu ? Réfléchis !

Récurrence.
Tu as eu la bonne idée.
On part de[tex] 1\leqslant u_n\leqslant u_{n+1}\leqslant \alpha[/tex] que l'on suppose vrai.
On applique g croissante :
[tex] g(1)\leqslant g(u_n)\leqslant g(u_{n+1})\leqslant g(\alpha)[/tex]

On sait que [tex]g(1)>1,\; u_{n+1}=g(u_n)\;\text{et}\;u_{n+2}=g(u_{n+1})[/tex].
On peut donc déjà écrire :
[tex]1\leqslant u_{n+1} \leqslant u_{n+2}\leqslant g(\alpha)[/tex]
Reste le problème du [tex]g(\alpha)[/tex] que toi tu as soigneusement évacué...

L'un des résultats intermédiaires établis par freddy pour la partie B est : [tex]e^{\alpha}=\frac{-2}{\alpha -2}[/tex]
Tu sais aussi que [tex]g(\alpha)=2-\frac{2}{e^{\alpha}}[/tex].
Il te reste à monter avec ce qui précède que [tex]g(\alpha)=\alpha[/tex].
Ainsi tu pourras écrire finalement que [tex]1\leqslant u_{n+1} \leqslant u_{n+2}\leqslant \alpha[/tex]
vérifiant l'héritage de la récurrence...

Dernière chose.
Où as-tu prouvé que [tex] l =\alpha[/tex] ?

@+

soso · 22-04-2013 17:53:56

Bonsoir à tous,

merci pour vos réponses.

T'as pas l'impression d'avoir écrit une sottise ?

Oups, oui je me trompée.. je reprends et ça donne:
Signe de h'

Sur [0;1] h'(x)<0 avec h'(1)=0
(...)

Ce qui entraîne
Sur [0;1] h décroissante avec h(1)=-e+2

Q3c)
C'était facile en fait...Je pensais à quelque chose de plus compliqué...
Donc,
Pour x € [tex][0;\propto[[/tex] h est négatif
Pour [tex][\propto;+\infty[[/tex] h(x)>0.
--------------

La partie 2 je ne comprend toujours pas...

1)b)Je connais le signe de h(x) mais comment suis-je cencé savoir le signe de [tex]x^3?[/tex] En cours, on nous en a jamais parlé !

c)
Pourquoi exprime t-on h([tex]\propto[/tex]) en fonction de f([tex]\propto[/tex])?
Ce n'est pas f'([tex]\propto[/tex]) qui est en fonction de h([tex]\propto[/tex])?

PARTIE C:

1)a) Ouiiiii je trouve extactement la même chose! On l'a déjà fait en cours le truc avec les projections ...
2) Je vais aller voir mes anciens message et je reviens avec la réponse.

3) Je dérive et je trouve [tex]g'(x)=2e^{-x}>0[/tex] donc g est croissante. Je me demande pourquoi je ne l'ai pas fait plus tôt....

4)a) Pour la réccurence j'attends avoir bien compris la partie B et C(ce n'est pas une excuse)

c) et b)
La suite converge vers [tex]\propto[/tex]. De plus elle est continue sur l'intervalle [tex][0;+\infty[[/tex]
On a donc [tex]\lim_{x \to +\infty}u_{n+1}=\lim_{x \to +\infty}g(u_n)=l[/tex]Et donc g(l)=l
Et comme g(x)=x on a l=[tex]\propto[/tex].

Merci d'avance,

Belle soirée.

Sophie

yoshi · 22-04-2013 18:28:01

Bonsoir,

La partie 2 je ne comprend toujours pas...
1)b)Je connais le signe de h(x) mais comment suis-je censée savoir le signe de x³? En cours, on nous en a jamais parlé !

Soso, tu te noies dans un verre d'eau !
Parce que si tu relisais la question tu verrais qu'il y est écrit :
On considère la fonction f définie sur [tex][0\;;\;+\infty[[/tex]...
Quel est donc le signe de x ? celui de x³ ?

Pourquoi je demande d'exprimer e^x en fonction de x et h(x) ?
Réponse
1. Si je regarde à quoi je dois arriver à savoir [tex]f(\alpha)=\frac{-1}{\alpha(\alpha-2)}[/tex], je vois que l'exponentielle n'y figure pas
2. Si je regarde [tex]f(x)=\frac{e^x-1}{x^2}[/tex], je vois que l'exponentielle, pourtant y figure bel et bien.
3. La conclusion s'impose : je dois trouver un moyen de la faire "disparaître"...
La seule solution est de la remplacer par autre chose...
4. Et je me penche sur h(x) qui peut s'écrire : [tex]h(x)=e^x(x-2)+2[/tex] et je regarde bien
5. Et d'un seul coup, je me dis : "Mais oui ! Je peux isoler e^x dans un membre et écrire une expression contenant x et h(x)
6. Tu dis : Ce n'est pas [tex]f'(\alpha)[/tex] qui est en fonction de h(\alpha) ? Oui, et ça empêche quoi ?
D'autre part on te demande de calculer f(\alpha) et non [tex]f'(\alpha)[/tex]
7. Donc je te dis que dans [tex]f(x) = \frac{e^x-1}{x^2}[/tex], tu vas remplacer e^x par l'expression trouvée au point 5...
8. Une fois que c'est fait, tu simplifies l'écriture de ta fraction, puis tu remplaces x par [tex]\alpha[/tex] pour avoir [tex]f(\alpha)[/tex].
Sans oublier de remplacer [tex]h(\alpha)[/tex] par 0 ce qui va entraîner d'autres simplifications pour arriver à [tex]\frac{-1}{\alpha(\alpha-2)}[/tex]

Freddy a fait usage de la même idée ,sauf que lui, il remplace tout de suite [tex]h(\alpha)[/tex] par 0, ce qui lui permet d'avoir une expression plus simple de [tex]e^{\alpha}[/tex], et du numérateur [tex]e^{\alpha}-1[/tex] de [tex]f(\alpha)=\frac{e^{\alpha}-1}{\alpha ^2}[/tex]...

@+

soso · 07-05-2013 17:58:13

Bonsoir!

Oups oui...c'est vraiment une horreur ... [tex] x^3[/tex] dans [tex][0;+\infty[[/tex] est positif...

Voici ce que je trouve pour le 1)c)
[tex]f(\propto)=\frac{e\propto-1}{\propto²}[/tex]
=[tex]\frac{(e^\propto-1)(\propto-2)}{\propto²(\propto-2)}[/tex]
Comme[tex] h(\propto)=0[/tex] on a [tex]h(\propto)=\propto e^\propto-2e^\propto+2[/tex]
[tex]f(\propto)=\frac{\propto e^\propto-2e^\propto-\propto+2}{\propto^3-2\propto²}[/tex]
et on obtient le résultat avec une petite simplification...

Par contre je n'ai toujours pas compris la question 2....

Bonne soirée,
Sophie

yoshi · 07-05-2013 18:41:58

Bonsoir,

La question 2. de quelle partie ?

@+

soso · 08-05-2013 09:35:24

Bonjour,

la question 2 de la partie C

yoshi · 08-05-2013 11:37:17

Salut,

freddy t'a déjà donné la réponse (il n'aurait pas dû.
Je vais repartir de ton travail
Donc, j'ai regardé ce que tu avais fait : tu n'étais pas loin, il fallait continuer...
Je suis sûr que tu n'as fait attention à la définition de g(x) : elle comprend [tex]e^{-x}[/tex]... -x !!!!
Or, dans h(x), c'est [tex]e^x[/tex] ... x !
Ça ne t'a pas frappée ?
3 verbes clés des Maths : observer, comparer, déduire...
Donc tu es arrivée à [tex]h(x)=0 \Leftrightarrow 2e^x-2=xe^x [/tex]
[tex]e^x[/tex] n'étant jamais nul, je divise les 2 membres par [tex]e^x[/tex] :
(Pourquoi cette idée ? Parce que on veut x tout seul et non [tex]xe^x[/tex])
[tex]2e^x-2=xe^x \Leftrightarrow \frac{2e^x}{e^x} - \frac{2}{e^x}=\frac{xe^x}{e^x}[/tex]
Donc
........................
tu dois pouvoir continuer seule.

@+

soso · 09-05-2013 09:59:59

Ah merci ,
je trouve bien g(x)=x

Bonne journée

freddy · 09-05-2013 10:07:53

yoshi a écrit :

Salut,
freddy t'a déjà donné la réponse (il n'aurait pas dû).
(...)

Oui, je sais, mais je savais aussi que ce ne serait pas trop utile ;-)

yoshi · 09-05-2013 17:04:17

RE,

Oui, je sais, mais je savais aussi que ce ne serait pas trop utile ;-)

Comme on connaît ses saints, on les honore... ^_^

@+

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#1 21-04-2013 18:13:44

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#2 21-04-2013 19:31:52

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