Forum de mathématiques - Bibm@th.net

boubamane

Membre

Lieu : Sénégal

Inscription : 19-03-2011

Messages : 81

Expression d'une série à partir de la suite des sommes pârtielles

Bonjour,
Voici l'énoncé d'un exercice que je trouve pas simple.
La suite des sommes partielles de la série [tex]\sum U_n[/tex] est donnée par [tex]S_n=\dfrac{n+1}{n};\;n\in \mathbb{N^{*}}[/tex].
Trouver la suite infinie ainsi que sa somme.

Bon j'ai commencé par jeter un p'tit coup d'œil à  ce lien, puis le calcul de la limite de la suite des sommes partielles me donne 1.
On a donc:
[tex]\displaystyle{\lim_{n \to +\infty } S_n=\lim_{n \to +\infty }\left(  \dfrac{n}{n} \times \dfrac{1+\dfrac{1}{n}}{1}\right)=1 }[/tex].
Cependant, je ne sais pas comment à partir des donnée du problème, déterminer  [tex]\sum_{n=1}^{+\infty} U_n[/tex] connaissant la somme. Merci de m'apporter votre aide.

freddy

Membre chevronné

Lieu : Paris

Inscription : 27-03-2009

Messages : 7 457

Re : Expression d'une série à partir de la suite des sommes pârtielles

Salut,

par définition d'une série, c'est une suite de la forme : [tex]S_n=\sum_{i=1}^n U_i = 1+\frac{1}{n}[/tex] pour n entier non nul dans ton cas.

Puisque cette suite[tex] (S_n)[/tex] est la somme partielle de la suite [tex](U_n)[/tex], on parle alors d'une série de terme général [tex](U_n)[/tex]

On dit que la série est convergente si [tex]\lim_{n \to +\infty} S_n[/tex] existe. Dans ce cas, on parle de la somme de la série.

Donc ...

Dernière modification par freddy (11-03-2013 12:02:36)

Fred

Administrateur

Inscription : 26-09-2005

Messages : 7 348

Re : Expression d'une série à partir de la suite des sommes pârtielles

Salut,

  As-tu essayé de calculer la différence [tex]S_n-S_{n-1}[/tex]?

F.

boubamane

Membre

Lieu : Sénégal

Inscription : 19-03-2011

Messages : 81

Re : Expression d'une série à partir de la suite des sommes pârtielles

Bonjour,
Merci pour les deux pistes que vous m'avez proposées.
Ça me permet alors d'écrire que: [tex]S_n=\underbrace{ U_1 + U_2 + \dots + U_{n-1}}_{{ S_{n-1}}}+U_n=S_{n-1}+U_n[/tex]. Ce qui donne alors [tex]U_n=S_n-S_{n-1}=\dfrac{(n+1)(n-1)-n^2}{n(n-1)}=-\dfrac{1}{n(n-1)}[/tex] et par la suite [tex]U_n= -\dfrac{1}{n(n-1)}[/tex] et puis [tex]\displaystyle{\sum_{n=2}^{+\infty} -\dfrac{1}{n(n-1)}=1}[/tex].
Mais depuis hier c'est ici que ça bloque. Ici  la somme va commencer à partir de [tex]n=2[/tex] et tous les termes deviennent négatifs et le premier terme n'est pris en compte dans cette somme. Alors je pense qu'il y a quelque chose qui ne tourne pas rond et je ne trouve toujours pas.

freddy

Membre chevronné

Lieu : Paris

Inscription : 27-03-2009

Messages : 7 457

Re : Expression d'une série à partir de la suite des sommes pârtielles

Re,

non, du tout, on te dit dans l'énoncé que [tex]S_n=\frac{n+1}{n}[/tex] pour n entier non nul. En particulier, [tex]S_1=U_1 = 2[/tex] !

Par contre, je voulais te faire remarquer que la limite d'une série et somme des termes de la suite terme général de la série étaient la même chose quand la série était convergente, ce qui est le cas.

Donc elle démarre par la valeur 2 et converge vers 1 par valeurs supérieures.

Dernière modification par freddy (11-03-2013 17:47:11)

boubamane

Membre

Lieu : Sénégal

Inscription : 19-03-2011

Messages : 81

Re : Expression d'une série à partir de la suite des sommes pârtielles

Salut
Alors si je comprends bien, je dois ajouter cette valeur 2 pour qu'elle puisse faire partie de la somme et on aurait [tex]\displaystyle{\sum_{n=2}^{+\infty} -\dfrac{1}{n(n-1)}+2=1}[/tex]?  Dans l'expression [tex]\dfrac{-1}{n(n-1)}[/tex], je pense que n ne peut pas prendre la valeur 1. Là je pense qu'on est pas loin . . .
Merci de me dire ce que vous en pensez.

boubamane

Membre

Lieu : Sénégal

Inscription : 19-03-2011

Messages : 81

Re : Expression d'une série à partir de la suite des sommes pârtielles

Bonsoir à tous,
J'ai fais ces quelques vérifications pour voir un peu ce que ça donne.
[tex]S_n= \dfrac{n+1}{n} \Longrightarrow S_3= \dfrac{3+1}{3}=\dfrac{4}{3}[/tex]
[tex]S_3=\displaystyle{\sum_{k=2}^{3}-\dfrac{1}{k(k-1)}+2=\dfrac{-1}{2(2-1)}+\dfrac{-1}{3(3-1)}+2 =\dfrac{-1}{2}+\dfrac{-1}{6}+2}=\dfrac{4}{3}[/tex]
On a aussi [tex]\displaystyle{\lim_{n\to +\infty}\dfrac{1}{n(n-1)}=0}[/tex], la condition nécessaire de convergence de la série est donc satisfaite.
Peut-on alors confirmer que  la suite infinie est donc [tex]\displaystyle{\sum_{n=2}^{+\infty}-\dfrac{1}{n(n-1)}+2}[/tex] et que la somme est égale à 1 ?

Dernière modification par boubamane (11-03-2013 19:03:30)

freddy

Membre chevronné

Lieu : Paris

Inscription : 27-03-2009

Messages : 7 457

Re : Expression d'une série à partir de la suite des sommes pârtielles

Re,

tu ne m'as pas bien lu : [tex]\sum_{k=1}^{+\infty} U_k = 1[/tex]

boubamane

Membre

Lieu : Sénégal

Inscription : 19-03-2011

Messages : 81

Re : Expression d'une série à partir de la suite des sommes pârtielles

Salut
Au lieu de mettre [tex]\displaystyle{\sum_{n=1}^{+\infty} U_k}[/tex] , j'ai mis cette somme sous la forme [tex]\displaystyle{\sum_{n=2}^{+\infty} U_k+U_1}[/tex].

Dernière modification par boubamane (11-03-2013 23:52:58)

freddy

Membre chevronné

Lieu : Paris

Inscription : 27-03-2009

Messages : 7 457

Re : Expression d'une série à partir de la suite des sommes pârtielles

Bonjour,
Merci pour les deux pistes que vous m'avez proposées.
Ça me permet alors d'écrire que: [tex]S_n=\underbrace{ U_1 + U_2 + \dots + U_{n-1}}_{{ S_{n-1}}}+U_n=S_{n-1}+U_n[/tex]. Ce qui donne alors [tex]U_n=S_n-S_{n-1}=\dfrac{(n+1)(n-1)-n^2}{n(n-1)}=-\dfrac{1}{n(n-1)}[/tex] et par la suite [tex]U_n= -\dfrac{1}{n(n-1)}[/tex] et puis [tex]\displaystyle{\sum_{n=2}^{+\infty} -\dfrac{1}{n(n-1)}=1}[/tex].

Mais depuis hier c'est ici que ça bloque. Ici  la somme va commencer à partir de [tex]n=2[/tex] et tous les termes deviennent négatifs et le premier terme n'est pris en compte dans cette somme. Alors je pense qu'il y a quelque chose qui ne tourne pas rond et je ne trouve toujours pas.

Salut,

tu vois, c'est à cette étape qu'il faut faire preuve de rigueur.

Comme Fred te l'a suggéré, tu as déterminé la différence entre deux sommes partielles consécutives.  Et comme la somme partielle est définie pour tout n entier non nul, il était nécessaire de bien définir pour quelles valeurs de n ce calcul était valable.

De fait, tu aurais fait la distinction [tex]n=1[/tex] et [tex]n \ge 2[/tex] comme tu l'as bien pressenti pour arriver à l'écriture [tex]2+\displaystyle{\sum_{n=2}^{+\infty} -\dfrac{1}{n(n-1)}=1}[/tex]

PS 1: un petit merci à yoshi pour le nettoyage du code !

PS 2 : en général, on étudie la suite [tex]S_n =\sum_{p=1}^n \dfrac{1}{p(p+1)}[/tex] dont on se sort en faisant remarquer que [tex]\forall p \in \mathbb{N^*},\,\dfrac{1}{p(p+1)}=\dfrac{1}{p}-\dfrac{1}{p+1}[/tex]

yoshi

Modo Ferox

Inscription : 20-11-2005

Messages : 17 385

Re : Expression d'une série à partir de la suite des sommes pârtielles

RE,

PS 1: un petit merci à yoshi pour le nettoyage du code !

C'est gentil, merci ; mais je n'ai pas eu besoin de retoucher le code boubamane ; celui de bakary, oui.

@+

boubamane

Membre

Lieu : Sénégal

Inscription : 19-03-2011

Messages : 81

Re : Expression d'une série à partir de la suite des sommes pârtielles

Bonsoir,
si je comprends bien alors, je peux dire qu'on  a [tex]\displaystyle{\sum_{n=2}^{+\infty}\dfrac{1}{n(n-1)}=1}[/tex]  et en faisant les mêmes transformations j'obtiens [tex]\dfrac{1}{n(n-1)}=\dfrac{1}{n-1}-\dfrac{1}{n}[/tex] pour le calcul de la somme. et avec cette relation simple la somme va donner 1.
Merci pour tout.