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gaspard

Invité

Théorème central limite

Bonjour,

Le fameux théorème central limite s'applique en général pour des variables aléatoires identiquement distribuées.

La page wikipédia anglaise consacrée au théorème (ici) montre une application du théorème à des variables aléatoires "faiblement corrélées" et à moyenne nulle.

Connaissez-vous une version de ce théorème appliquée à des variables aléatoires (faiblement) corrélées et à moyenne non-nulle?

Merci

Fred

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Re : Théorème central limite

Salut,

  Dans les exemples que je connais, les variables aléatoires ont toutes la même moyenne, et il suffit de retrancher cette moyenne...
Je ne sais pas si on a des énoncés plus généraux.

F.

gaspard

Invité

Re : Théorème central limite

Bonjour,

Merci pour votre réponse. Disons que les [tex]Y_i[/tex] ont pour moyenne [tex]\mu[/tex]. Alors les [tex]X_i=Y_i-\mu[/tex] sont à  moyenne nulle.

D'après l'article wikipédia anglais, on a :
[tex]\frac{1}{\sigma \sqrt{n}} \sum_{i=1}^{n} \frac{X_i}{n} \to N(0,1)[/tex] avec

[tex]\sigma^2 = lim \frac{E(S_n^2)}{n} = E(X_1^2) + 2 \sum_{k=1}^{\infty} E(X_{1}X_{1+k})[/tex]

Je ne vois pas comment prendre en compte une moyenne non nulle dans le calcul de la variance car [tex]E(Y_1 Y_{1+k}) \neq \mu^2[/tex]. Pouvez-vous m'éclairer?

Fred

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Re : Théorème central limite

Je ne comprends pas trop ce que tu veux dire....

F.

gaspard

Invité

Re : Théorème central limite

Bonjour,

On suppose : [tex]E(X_1X_{1+k}) = \mu^2 e^{-k^2}[/tex]. Dans ce cas, a-t-on :
[tex]\sigma^2 = \mu^2 \left(  1 + 2 \sum_{k=1}^{\infty} e^{-k^2} \right)[/tex]?

Merci

Fred

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Re : Théorème central limite

Je pense que oui.

gaspard

Invité

Re : Théorème central limite

Bonjour,

Merci pour votre aide! J'ai essayé de mettre sur pied un exemple :

cas 1 : n échantillons à la "fréquence" k
[tex]E(X_1)=\mu[/tex]
[tex]E(X_1X_{1+k})=\frac{1}{k^2}[/tex]
[tex]\sigma^2=\mu^2\left(  1+2\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^2}\right) = \mu^2\left(  1+ \frac{\pi^2}{3}\right)[/tex]
[tex]\frac{1}{n} \sum_{k=1}^n X_i = \mu + \frac{\sigma}{\sqrt{n}}N(0,1) = \mu + \mu \sqrt{\frac{ 1+ \frac{\pi^2}{3}}{n}}N(0,1)[/tex]

cas 2 : 2*n échantillons à la "fréquence" k/2
[tex]\sigma^2=\mu^2\left(  1+2\sum_{k=1}^\infty \frac{4}{k^2}\right) = \mu^2\left(  1+ \frac{4\pi^2}{3}\right)[/tex]
[tex]\frac{1}{2n} \sum_{k=1}^{2n} X_i = \mu + \mu \sqrt{\frac{ 1+ 4\frac{\pi^2}{3}}{2n}}N(0,1)[/tex]

Dans le cas 1, l'écart-type à la moyenne est [tex]2.07\frac{\mu}{\sqrt{n}} [/tex] et dans le cas 2 [tex]2.66\frac{\mu}{\sqrt{n}} [/tex]. Donc, pour une durée égale, augmenter la fréquence d'échantillonage augmente l'incertitude?

De manière plus générale, connaissant la corrélation entre les réalisations des Xi, peut-on trouver une fréquence optimale?

gaspard

Invité

Re : Théorème central limite

edit : grossière erreur, dans le cas 2, la fréquence est 2k et pas k/2

L'écart type passe donc de [tex]2.07 \frac{\mu}{\sqrt n}[/tex] à [tex]0.95 \frac{\mu}{\sqrt n}[/tex]. Augmenter la fréquence d'échantillonnage réduit donc l'incertitude!

freddy

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Re : Théorème central limite

edit : grossière erreur, dans le cas 2, la fréquence est 2k et pas k/2

L'écart type passe donc de [tex]2.07 \frac{\mu}{\sqrt n}[/tex] à [tex]0.95 \frac{\mu}{\sqrt n}[/tex]. Augmenter la fréquence d'échantillonnage réduit donc l'incertitude!

Salut,

tu me rassures, j'ai eu peur un instant que tu avais prouvé le contraire et balayé ainsi des décennies d'observations convergentes et de certitudes démontrées  :-)))

gaspard

Invité

Re : Théorème central limite

Je trouve mon raisonnement peu rigoureux et la corrélation en 1/k² est singulière... Je ré-essaie, n'hésitez pas à me signaler une erreur.

On se place à durée constante : augmenter la fréquence équivaut à augmenter le nombré d'échantillons. On note n le nombre d'échantillons et f la fréquence d'échantillonnage. On a le cas 1 et le cas 2 : [tex]\frac{n_1}{f_1}=\frac{n_2}{f_2}[/tex].

La corrélation entre échantillons vérifie : [tex]<X_t X_{t+dt}>=<X_t^2>e^{-dt^2}=\mu^2 (1+\alpha)^2 e^{-dt^2}[/tex].
On a également [tex]<X_t>=\mu[/tex].

[tex]\frac{1}{n_i}\sum_{k=1}^{n_i} X(t_i) = \mu + \mu (1+\alpha) \sqrt{ \frac{1+2\sum_{k=1}^{\infty} e^{-\frac{k^2}{f_i^2}} }{n_i} } N(0,1) [/tex]

Si on augmente n, le dénominateur de la fraction augmente, l'écart-type diminue.
Si on augmente f, les ratios k/f diminuent, la somme des exponentielles augmente, le numérateur augmente, l'écart-type augmente.

Si les 2 propositions ci-dessus sont justes, peut-on trouver une situation où augmenter la fréquence d'échantillonage augmente l'incertitude?

ps : on est à durée physique n/f imposée et finie
ps2 : avez-vous une idée pour calculer la série avec les exponentielles?

Merci

gaspard

Invité

Re : Théorème central limite

Re,

Dans le cas où [tex]<X_t X_{t+dt}> = \mu^2 (1+\alpha)^2 e^{-dt} [/tex], la série est une suite géométrique. On a alors l'écart-type suivant :
[tex]\mu (1+\alpha) \sqrt{\frac{1+2\frac{e^{-1/f_i}}{1-e^{-1/f_i}}}{n_i}} = \mu (1+\alpha) \sqrt{\frac{1+\frac{2}{e^{1/f_i}-1}}{n_i}} [/tex]

Le terme dans la racine s'exprime alors :
[tex]\frac{1}{n_i}+\frac{2}{n_i}\frac{1}{ e^{n_0/f_0/n_i}-1 }[/tex]

Il semble que ce soit décroissant et que la limite soit [tex]\frac{2f_0}{n_0}[/tex]. Donc peu importe la fréquence d'échantillonage, l'écart-type a une borne inférieure et l'incertitude ne pourra tendre vers 0 que si la durée de l'expérience tend vers l'infini?