Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Natoandro

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Messages : 13

Mesure

Salut,
Soit [tex](X,T,\mu)[/tex] un espace mesuré, [tex]\nu[/tex] une autre mesure sur [tex](X,T)[/tex]. On suppose que pour tout [tex]A\in T,[/tex] on a [tex]\mu(A)=0\Rightarrow\nu(A)=0.[/tex]
Je veux montrer que, pour tout [tex]\epsilon >0[/tex], il existe [tex]\eta>0[/tex] tel que [tex]\forall A\in T, \mu(A)<\eta\Rightarrow\nu(A)<\epsilon[/tex].
Pouvez-vous me donner une indication?

Merci

Fred

Administrateur

Inscription : 26-09-2005

Messages : 7 352

Re : Mesure

Salut,

  Je commencerais par un raisonnement par l'absurde :
soit donc [tex]\varepsilon>0[/tex] tel que, pour tout [tex]\eta>0[/tex], on peut trouver
[tex]A\in T[/tex] tel que [tex]\mu(A)<\eta[/tex] et [tex]\nu(A)\geq\varepsilon[/tex].

J'applique ceci pour [tex]\eta=\frac1{2^n}[/tex] et je note [tex]A_n[/tex] l'ensemble correspondant.
Je note aussi [tex]B_n=\bigcup_{k\geq n}A_k[/tex] et [tex]C=\bigcap_{n\geq 1}B_n[/tex].

Question 1 : Majorer [tex]\mu(B_n)[/tex] et minorer [tex]\nu(B_n)[/tex]

Question 2 : En déduire une contradiction à partir de [tex]\mu(C)[/tex] et [tex]\nu(C)[/tex].

F.