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zarga

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exercice

Salut, J'ai l'exercice suivant :
On considère [tex]u \in H^1_0(\varOmega)[/tex] et soit [tex]v \in H^1(\varOmega).[/tex]
1- Prouver que [tex]- \langle \Delta v , u \rangle = \displaystyle\int_{\varOmega} \nabla u(x) \cdot \nabla v(x) dx.[/tex]
2- On suppose que [tex]u \in H^1_0(\varOmega)[/tex] et  [tex]\Delta u \in L^2(\varOmega).[/tex] Comparer entre le produit scalaire [tex](\Delta u , u)_{L^2,L^2}[/tex] et [tex]||\nabla u||_{L^2},[/tex] puis déterminer toutes les solutions de l'équation [tex]\Delta u = 0[/tex] dans [tex]H^1_0(\varOmega).[/tex]

on répond à 1 par intégration par parties.
pour 2. je trouve [tex](\Delta u,u)_{L^2,L^2} = \displaystyle\int_{\Omega} \Delta u . u dx = - \displaystyle\int_{\Omega} |\nabla u|^2 dx[/tex] et [tex]||\nabla u||_{L^2} = (\displaystyle\int_{\Omega}|\nabla u|^2 dx)^{1/2}[/tex]
il y'a le - qui me gene. Comment faire la comparaison? et comment détérminer toutes les solutions de l'équation puisque par Lax-Milgram, l'équation admet une solution unique? Merci bien.

Roro

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Re : exercice

Bonjour,

Le signe "moins" est bien présent.
En fait l'opérateur qui est positif est l'opérateur [tex] -\Delta[/tex].

Roro.

zarga

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Re : exercice

Donc on a bien [tex](\Delta u,u)_{L^2,L^2} = - ||\nabla u||^2_{L^2}[/tex]
et comment on détérmine toutes les solutions de l'équation [tex] \Delta u = 0[/tex] dans [tex] H^1_0(\Omega)[/tex]? en appliquant Lax-Milgram je trouve existence et unicité de la solution. De plus on utilise les question 1 et 2 ici?

zarga

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Re : exercice

quelqu'un peut m'aider? merci!

zarga

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Re : exercice

la formulation variationnelle associée à [tex]\Delta u = 0[/tex] est trouver [tex]u \in H^1_0,[/tex] telle que [tex]< \Delta u , v > = 0[/tex] pour tout [tex]v \in H^1_0.[/tex] En particulier, pour [tex]u=v[/tex]: [tex]< \Delta u , u> = 0[/tex] implique [tex]- ||\nabla u||^2_{L^2} = 0[/tex] implique [tex]\nabla u = 0.[/tex] implique [tex]u[/tex] est une fonction constante.
Les solutions pour [tex]v=u[/tex] sont les fonctions constantes [tex]c[/tex] avec [tex]c \in \mathbb{R}.[/tex] Or il faut trouver les solutions pour tout [tex]v[/tex] par juste pour un cas particulier de [tex]v,[/tex] aussi par Lax-Milram on obtient unicité de la solution or là, on obtient une infinité.. Ce sont mes questions. Merci bien!

Dernière modification par zarga (26-02-2013 11:54:03)