Forum de mathématiques - Bibm@th.net

soso

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Limite des exponentielle ?.?

Bonsoir,

J'ai du mal à résoudre un exercice, pouvez-vous me donner un coup de main?
Le voici:

On considère les fonction f et g définies sur IR par f(x)= [tex]\frac{1}{2}x²+xe[/tex] et g(x)= [tex]\frac{1}{2}x²-x[/tex].

1. Déterminer la limite de f en [tex]-\infty [/tex]et [tex]+\infty[/tex]

Je ne vois pas comment m'y prendre...je trouve des formes Indéterminées.
Est-ce que  l'exponentielle domine sur x²?

Bon j'ai essayé quand même de factoriser et ça me donne:

[tex]\frac{1}{2}x²+xe^{-x}[/tex]=[tex]x(\frac{1}{2}x-1+\frac{1}{e^x})[/tex]

et je trouve [tex]\lim_{x \to +\infty}f(x)=\lim_{x\to -\infty}f(x)=+\infty[/tex]

2. pour tout réel x, on pose h(x)=f(x)-g(x). Déterminer la limite de la fonction h en [tex]+\infty[/tex]. Quelles sont les conséquences graphiques ?

[tex]h(x)=xe^{-x}[/tex]
Je trouve [tex]\lim_{x\to +\infty}h(x)=0[/tex] On a une asymptote c'est (x'x)???

5. Etudier la position des courbe (C_f) et (C_g)
On étudie le signe de h(x).
[tex]e^x[/tex] est toujours positif sur IR.
x et négatif sur [tex]]-\infty;0[[/tex] et positif sur [tex][0;+\infty[[/tex]
Du coup, C_f est en dessus de Cg sur [tex]]-\infty;0[[/tex] et au dessus de Cg[tex][0;+\infty[[/tex]???

Etudier le signe de f'(x) puis conclure l'étude de f en dressant son tableau de variation.

On dérive, je trouve f'(x)= (x-1)(1-[tex]e^{-x}[/tex])
Tableau:
première ligne: -infini.....0.....1......+infini
x-1.......................-.............-..0--+-------
1-e^x..................--..........0...+.......+
f'(x):                        +...0..-.....0.....+
f(x) croissant 0 décroissant e^-1 -1/2..croissant .....+ infini ???

Merci d'avance :)

Dernière modification par soso (01-02-2013 20:24:51)

freddy

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Re : Limite des exponentielle ?.?

Re,

oui, l'exponentielle de x domine le carré de x !

Mais on n'arrive pas à bien voir l'expression de f, si tu pouvais la réécrire ...

Dernière modification par freddy (02-02-2013 10:49:44)

soso

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Re : Limite des exponentielle ?.?

Bonsoir, je n'arrive toujours pas à calculer les limites en [tex]-\infty[/tex] et en [tex]+\infty[/tex].

Expression de [tex]f(x)=\frac{1}{2}x²-x+xe^{-x}[/tex]

yoshi

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Re : Limite des exponentielle ?.?

Bonsoir,

Bon j'ai essayé quand même de factoriser et ça me donne:

[tex]\frac{1}{2}x²-x+xe^{-x}=x(\frac{1}{2}x-1+\frac{1}{e^x})[/tex]

et je trouve [tex]\lim_{x \to +\infty}f(x)=\lim_{x\to -\infty}f(x)=+\infty[/tex]

Ça m'avait l'air pas mal, pourtant ton idée de factorisation...
On reprend :
Avec [tex]x\mapsto+\infty[/tex]
[tex]\lim x = +\infty[/tex]
[tex]\lim e^x =+\infty[/tex]
[tex]\lim \frac{1}{e^x} = 0^+[/tex]
On rassemble le tout et on a :
[tex]\lim_{x\mapsto{+\infty}}x\left(\frac{1}{2}x-1+\frac{1}{e^x}\right)=+\infty\times (+\infty -1 + 0)=+\infty[/tex]
C'était juste !

Au tour de l'autre :
Avec [tex]x\mapsto -\infty[/tex]
Je mets x² en facteur !
[tex]\frac{1}{2}x²-x+xe^{-x}=x^2\left(\frac{1}{2}-\frac 1 x+\frac{1}{xe^x}\right)[/tex]
[tex]\lim_{x\mapsto -\infty}x^2=+\infty[/tex]
[tex]\lim_{x\mapsto -\infty}-\frac 1 x =0^+[/tex]

Reste enfin à trouver : [tex]\lim_{x\mapsto -\infty} \frac{1}{xe^x}[/tex]...
C'est -oo.
Une méthode simple pour y arriver est de faire un changement de variable : je pose [tex]x = -t[/tex]...
Donc lorsque [tex]x\mapsto -\infty[/tex] alors [tex]t\mapsto +\infty[/tex]
J'ai donc[tex] \frac{1}{xe^x}=\frac{1}{-te^{-t}}=-\frac{e^t}{t}[/tex]

Donc :
[tex]\lim_{x\mapsto -\infty} \frac{1}{xe^x}=\lim_{t\mapsto +\infty} -\frac{e^t}{t}=-(+\infty)=-\infty[/tex]

Donc :
[tex]\lim_{x\mapsto -\infty} \frac 1 2 x^2-x+xe^{-x}=\lim_{x\mapsto -\infty}\;x^2\left(1-\frac 1 x+\frac{1}{ xe^x}\right)=+\infty \times -\infty=-\infty[/tex]

Soso, tu veux un bon conseil ?
Cette fois je vais te le hurler : TRACE LA COURBE !
Si tu l'avais fait, tu aurais vu que ta limite en -oo était fausse...

@+

soso

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Re : Limite des exponentielle ?.?

Coucou^^

merci pour votre réponse!

Cette fois je vais te le hurler : TRACE LA COURBE

En plus, je l'avais tracer la courbe c'est juste que j'ai oublié de modifier mon message....(nan nan je ne cherche pas d'excuse)!

Sinon pour la limite de [tex]\frac{1}{xe^x}[/tex] je pense avoir trouvé une autre méthode. Ce n'est pas très mathématiques....

[tex]\frac{1}{xe^x}[/tex]= [tex]xe^{-x}[/tex]

[tex]\lim_{x\mapsto -\infty} -x [/tex]= [tex]+\infty[/tex]
[tex]\lim_{x\mapsto +\infty} e^x [/tex]= [tex]+\infty[/tex]
Par compo [tex]\lim_{x\mapsto -\infty} e^{-x} [/tex]=  [tex]+\infty[/tex]

Puis par multiplication  [tex]\lim_{x\mapsto -\infty} xe^{-x} [/tex]=  [tex]-\infty[/tex]
Et après je trouve la même limite que vous. C'est bon??

Le 5 est bon ?

Bonne journée :)

Dernière modification par soso (03-02-2013 11:44:41)

yoshi

Modo Ferox

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Re : Limite des exponentielle ?.?

Bonjour,

[tex]\frac{1}{xe^x}= xe^{-x}[/tex]

Le seul souci que ça c'est faux !...

Correction :
[tex]\frac{1}{xe^x}= \frac 1 x e^{-x}[/tex]
Et là :
[tex]\lim_{x \mapsto -\infty} \frac 1 x e^{-x}=0^-\times +\infty= ?[/tex] Crac ! indétermination...

En outre :
[tex]\lim_{x \mapsto -\infty} \frac 1 x e^{-x}=\lim_{x \mapsto -\infty}\frac{e^{-x}}{x}=\frac{+\infty}{-\infty}= ?[/tex] Boum ! indétermination...

Pour le reste.
[tex]h(x) =f(x)-g(x) = (\frac 1 2 x^2-x+xe^{-x})-(\frac 1 2 x^2-x)=xe^{-x}[/tex]
Ça, c'est bon...

Oui il y a une asymptote ! Si tu traçais f(x) et g(x) sur le même écran, tu aurais vu que non, ce n'est pas x'x !

Le but de cet exercice est apparemment, en dehors de jouer avec les limites, est de vérifier si tu sais qu'une asymptote n'est pas forcément une droite, mais plus généralement une courbe.
Revois la définition :
f et g étant deux fonctions définies sur ]-oo ; +oo[ telles que [tex] \lim_{x \mapsto \infty} f(x)-g(x) = 0[/tex] alors g(x) est asymptote pour f(x) en l'infini...
Ton asymptote ici est [tex]g(x)=\frac 1 2 x^2-x[/tex]
Trace tu verras ! Pour x >0 et tendant vers +oo, on constate que les 2 courbes Cf et Cg - à l'écran - sont difficilement discernables l'une de l'autre...

Oui, il faut étudier le signe de h(x) pour les positions respectives de [tex]C_f[/tex] et [tex]C_g[/tex]...

Du coup, Cf est en dessus de Cg sur ]−∞;0[ et au dessus de Cg ]0;+∞[ ???

Si tu remplaces au dessus (le 1er) par au dessous, c'est bon...
Il y a un point d'intersection en x = 0 : là, la courne n'est donc ni dessus ni dessous...

@+

soso

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Re : Limite des exponentielle ?.?

Bonjour yoshi,^^

Le seul souci que ça c'est faux !...

C'était  trop beau pour être vrai..... Mais au moins j'aurais essayé. C'est plus clair maintenant, merci !!!

Bonne journée! :-)