Limites

soso · 14-01-2013 16:04:42

Bonjour à tous,

je bloque pour un exercice, pouvre-vous m'aider s'il vous plaît?

Le voici:

Soit f la fonction définie par: f(x)=sin²x+ [tex]\sqrt 3[/tex]cos x
1.Etudier la parité et la périocité de f. En déduire I un intervalle d'étude de f

=> la fonction est paire période 2[tex]\pi[/tex], il faut l'étudier sur [0; [tex]\pi[/tex]}

3.Etudier le signe de f'(x) et en déduire les variation de f sur I.

=> la je bloque

la dérivé c'est [tex]f'(x) =sinx[2cosx-\sqrt{3}][/tex]

Donc sinus s'annule en 0 et pi
Et est toujours positif

Par contre j'ai du mal pour le signe de [tex]2cosx-\sqrt{3} [/tex]
Il s'annule en pi/6. Mais comment savoir s'il est + ou -?

4.Démontrer que pour tout x appartient à [tex]]-\frac{\pi}{4};\frac{\pi}{4}[,,[/tex] on a 1.72<ou = f(x)<ou = 1.75

Comme vous l'aurez remarqué? j'ai un niveau assez faible en maths, il faut me repetez au moins 15 fois pour que ça rentre :S

Merci d'avance !

Dernière modification par soso (14-01-2013 16:07:20)

yoshi · 14-01-2013 16:45:12

Salut,

Jusqu'au 3. ok.
Au fait, où est passée la question 2 ?
Donc tu as trouvé la valeur [tex]\frac{\sqrt 3}{2}= \cos\left(\frac{\pi}{6}\right)[/tex]
C'est un premier point.
On peut voir ça comme suit pour le 3.
Que vaut le cos x pour[tex] x \in\left[0\;;\;\frac{\pi}{6}\right][/tex] par rapport à [tex]\frac{\sqrt 3}{2}[/tex] ? Pourquoi ? Et donc [tex]2\cos(x)-\sqrt 3[/tex] est-il + ou -?
Que vaut le cos x pour[tex] x \in\left[\frac{\pi}{6}\;;\;\pi\right][/tex] par rapport à [tex]\frac{\sqrt 3}{2}[/tex] ? Pourquoi ? Et donc [tex]2\cos(x)-\sqrt 3[/tex] est-il + ou - ?

La suite on verra après...

Mais, ainsi qu'on te l'a déjà suggéré dans ton autre discussion encore ouverte, prends ta calculette et
1. trace ta courbe
2. trace aussi la courbe [tex]2\cos(x)-\sqrt 3[/tex] et tu verras ce qui se passe (où elle est + et où elle est -)
Attention ! ça n'a pas valeur de preuve mais c'est ça apporte les éclaircissements souhaités

j'ai un niveau assez faible en maths

Bah, bah, bah... Si c'était vrai comment serais-tu arrivée en TS ?
Tu veux dire que tu as besoin de beaucoup piocher ? Pas d'affolement, ce sont les plus bosseurs qui réussissent, ceux qui ont des facilités ont tendance parfois à être un peu trop sûrs d'eux et devenir négligents...

Par contre, tu gagnerais à relire chaque fois (attentivement les posts précédents) avant de répondre ou questionner à nouveau.
D'accord, tu auras l'impression de perdre du temps, mais tu finiras par en gagner...

@+

soso · 14-01-2013 17:25:16

coucou :-)

merci pour votre réponse!

La question 2 était de dérivé la fonction, donc je l'ai rassemblé avec la 3. ^^
Quand [tex] x \in\left[0\;;\;\frac{\pi}{6}\right][/tex]
-> cosx [tex] x \in\left[1;\;\frac{\sqrt 3}{2}\right][/tex] donc plus petit ou égal à [tex] \frac{\sqrt 3}{2}[/tex] c'est positif

->Quand [tex] x \in\left[\frac{\pi}{6};\pi\right][/tex]
-> cosx [tex] x \in\left[-1;\frac{\sqrt 3}{2};\right][/tex] donc plus petit ou égal à [tex] \frac{\sqrt 3}{2}[/tex] c'est négatif vu qu'on part de -1

Après avec la calculatrice, j'ai une parabole inverse (?) ou plutôt des sinusoïdes dont le signe est négatif sur - [tex]]\infty;-6[[/tex] et ]-5;-0.6[
Et entre les deux c'est positif.

Par contre, tu gagnerais à relire chaque fois (attentivement les posts précédents) avant de répondre ou questionner à nouveau.
D'accord, tu auras l'impression de perdre du temps, mais tu finiras par en gagner...

Oui je serai plus attentive ^^ .

yoshi · 14-01-2013 19:51:05

Bonsoir,

Attention, prends l'habitude d'être précise, même sur ce forum...

c'est positif

Tu vois, ton "c' " est vague...

Alors, oui [tex]2\cos(x)-\sqrt 3 \geq 0[/tex] pour [tex]x \in \left[0\;;\;\frac{\pi}{6}\right][/tex] et [tex]2\cos(x)-\sqrt 3 \leq 0[/tex] pour [tex]x \in \left[\frac{\pi}{6}\;;\;\pi\right][/tex].
Tu as donc maintenant le signe de ta dérivée...

Ça, ce n'est pas correct :

-> cosx [tex] x \in\left[-1;\frac{\sqrt 3}{2};\right][/tex] donc plus petit ou égal à [tex] \frac{\sqrt 3}{2}[/tex] c'est négatif vu qu'on part de -1

Tu aurais dû écrire :
-> [tex] x \in\left[\frac{\sqrt 3}{2}\;\;;-1\right][/tex] donc plus petit ou égal à [tex] \frac{\sqrt 3}{2}[/tex], [tex]2\cos(x)-\sqrt 3 \leq 0[/tex] vu que cos(x) est décroissante sur [tex] \left[\frac{\pi}{6}\;;\; \pi\right][/tex] et qu'on part de [tex]cos(x) =\frac{\sqrt 3}{2}[/tex].
Vois-tu la différence ?

Au passage, on ne dit pas "plus petit ou égal à" : si tu enlèves "ou égal", ça donne "plus petit à" qui n'est pas français : Correct est : "inférieur ou égal à".

Après avec la calculatrice, j'ai une parabole inverse (?) ou plutôt des sinusoïdes dont le signe est négatif sur - ]∞;−6[ et ]-5;-0.6[
Et entre les deux c'est positif.

Ouh là ! Dis-moi plutôt quel est le sens de variation de ta fonction[tex]\sin^2(x)-\sqrt 3 \cos(x)[/tex] sur [tex]\left[0\;;\;\frac{\pi}{6}\right][/tex] puis sur [tex] \left[\frac{\pi}{6}\;;\;\pi\right][/tex]

@+

yoshi · 15-01-2013 15:46:50

Re,

Voilà les "sinusoïdes" que tu as dû obtenir :

A te lire

soso · 16-01-2013 13:39:09

Bonjour, et merci pour votre réponse:

voici le tableau que j'obtiens, j'espère que ce n'est pas une catastrophe :S

Je m'aperçoit que j'aurai pu faire plus simple pour le signe de [tex]2cosx-\sqrt 3[/tex] le "2" est supérieur à 0 donc le signe sera négatif avant 0 et positif après 0, non?

Dernière modification par soso (16-01-2013 16:55:53)

yoshi · 16-01-2013 14:24:44

Bonjour,

Hmmmmm.... Soso, soSo !
Tu prétends que ta fonction décroît de [tex]\sqrt 3[/tex] à 7/4 (ces valeurs sont bonnes)....
Voyons ça...
7/4 = 1,75
[tex]\sqrt 3 \approx 1,73[/tex]
Toujours du même avis ?
As-tu vérifié ce que tu obtenais dans ton tableau (croissance/décroissance) avec le graphique fourni ?
As-tu lu et relu ceci (post #4) :

Alors, oui [tex]2\cos(x)-\sqrt 3 \geq 0[/tex] pour [tex]x \in \left[0\;;\;\frac{\pi}{6}\right][/tex] et [tex]2\cos(x)-\sqrt 3 \leq 0[/tex] pour [tex]x \in \left[\frac{\pi}{6}\;;\;\pi\right][/tex].

Je ne crois pas.

Donc, tu reprends et tu repasses...

@+

soso · 16-01-2013 14:36:26

Ah oui.... je crois que je me suis un peu enflammé en voyant le 2cos-racine de 3....ça m'a rapellé la forme ax+b
Mais alors comment je peux savoir si le signe de la fonction est négatif ?ou positf ? je ne peux pas donner comme justification, cos (0) vaut ... et cos(pi/6) vaut... donc on en déduit le signe de f(x),non?

Sinon voici le tableau corrigé ^^

La question 4, je reste indifférente devant celle ci !

soso · 16-01-2013 14:42:00

ouuuuuups j'ai dit que j'allais être attentive mais j'ai fait une petite erreur

le trait vertical dans le tableau | est à remplacé par un +

yoshi · 16-01-2013 15:07:00

Re,

Pour [tex]x \in \left[0 ;\frac{\pi}{6}\right][/tex], la fonction [tex]\cos[/tex] est décroissante de 1 à \frac{\sqrt 3}{2}, ça c'est du cours...
Voilà pour [tex]\cos(x) \geq \frac{\sqrt 3}{2}[/tex] sur l'intervalle en question.
A partir de :
[tex]\cos(x) \geq \frac{\sqrt 3}{2}[/tex]
Tu passes à [tex]2\cos(x) \geq \cdots[/tex] (la multiplication par un réel positif ne change pas l'ordre)
puis à [tex]2\cos(x)-\sqrt 3\geq \cdots[/tex]
Simples petits calculs sur les inégalités.

ça m'a rappelé la forme ax+b

Oui, et c'est volontairement que je n'ai rien dit : je t'ai attendue, je ne voulais pas que ma remarque éventuelle te déconcentre.
Ce serait vrai pour [tex]2x-\sqrt 3[/tex].
Mais la différence, est qu'ici, ce n'est pas x, mais [tex]\cos(x)[/tex] !

Quant à ta question 4 :

4. Démontrer que pour tout x appartient à [tex]\left]-\frac{\pi}{4};\frac{\pi}{4}\right[[/tex], on a [tex]1.72 \leq f(x)[/tex] ou [tex]f(x)= 1.75[/tex]

On verra après. Ne nous dispersons pas...
Vérifie quand même si ton 1,72 n'est pas en fait 1,73 ou 1,732... En fait vérifie ta question tout court : formulée comme ça, elle est "louche" !

@+

[EDIT]

le trait vertical dans le tableau | est à remplacé par un +

Non, non pas d'erreur, zoome sur la page et tu verras : maintiens le doigt sur la touche Ctrl et de l'autre main, utilise un doigt pour actionner la roulette de la souris : c'est magique !!!

Dernière modification par yoshi (16-01-2013 15:12:01)

soso · 16-01-2013 16:10:35

Re,

Ouiii c'est magique je le vois enfin mon petit +.
Mais par contre pour l'exercice je suis complètement perdue.
Sinon j'ai réussi à trouver l'inégalité
[tex]\cos(x) \geq \frac{\sqrt 3}{2}[/tex]
[tex]2\cos(x) \geq \sqrt 3[/tex]
[tex]2\cos(x)-\sqrt 3\geq 0 [/tex]

yoshi · 16-01-2013 16:36:44

Re,

Oui, c'est bon.
Tu as ta justification.
Tu as répondu à la question 3. Ton 2e tableau est juste !

Maintenant question 4.
Je t'ai demandé :
Vérifie quand même si ton 1,72 n'est pas en fait 1,73 ou 1,732... En fait vérifie ta question tout court : formulée comme ça, elle est "louche" !.

Réponse à ma demande ? Que dit très exactement l'énoncé ?

@+

soso · 16-01-2013 16:42:16

Non c'est bien un 1.72.

La question exacte est : Démontrer que pour tout x appartient à ][tex]-\frac{\pi}{4};\frac{\pi}{4}[[/tex] On a 1.72<(ou =) f(x)<(ou égale) 1.75

yoshi · 16-01-2013 16:58:23

Salut,

Comme ça, donc : [tex]1,72\leq f(x) \leq 1,75[/tex]
Pour, 1,75 c'est à dire 7/4 c'est facile... Maintenant que je te dis 7/4 si tu regardes ton tableau tu va comprendre toute seule.
Calcule [tex]f\left(\frac{\pi}{4}\right)[/tex] et [tex]f\left(-\frac{\pi}{4}\right)[/tex]

Comment se comporte ta fonction sur [tex]\left]-\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{4}\right[[/tex] ?

N'oublie pas que [tex]-\frac{\pi}{4}< -\frac{\pi}{6}<0<\frac{\pi}{6}<\frac{\pi}{4}[/tex]

Bon, je m'absente 2 h, je reprends après...

@+

soso · 16-01-2013 17:07:34

Re,

[tex]f(\frac{\pi}{4})=f(\frac{-\pi}{4})= environ 1.72[/tex] La fonction est constante et inférieur à 7/4?

D'accord ^^ A ce soir alors.

Dernière modification par soso (16-01-2013 17:08:26)

yoshi · 16-01-2013 19:50:05

Salut,

Me rev'la...
Et que vois-je ? Tu écris : la fonction est constante : sais-tu bien ce que ça signifie ?
Parce que je te rappelle que tu as établi que
- la fonction est périodique de période [tex]2\pi[/tex]
- la fonction est paire
- la fonction est croissante pour x entre 0 et [tex]\frac{\pi}{6}[/tex] , décroissante de [tex]\frac{\pi}{6}[/tex] à [tex]\pi[/tex]
- tu as trouvé au moins deux valeurs exactes de ta fonction [tex]\sqrt 3[/tex] et [tex]\frac 7 4[/tex].
Tu crois toujours qu'elle est constante ?

Pour 7/4, je vais te poser la question autrement :
que représente le point de coordonnées [tex]\left(\frac{\pi}{6}\;;\;\frac 7 4\right)[/tex] pour la courbe dans l'intervalle d'étude [tex][0\;;\; \pi][/tex] ?

Pour la suite, réponds déjà à ces questions :
Quel est le sens de variation de la courbe sur [tex]\left[0\;;\;\frac{\pi}{6}\right][/tex] ?
Quel est le sens de variation de la courbe sur [tex]\left[\frac{\pi}{6}\;;\;\frac{\pi}{4}\right[[/tex] ?

Puis sachant cela et que ta fonction est paire et périodique :
Quel est le sens de variation de la courbe sur [tex]\left]-\frac{\pi}{4}\;;\;-\frac{\pi}{6}\right][/tex] ?
Quel est le sens de variation de la courbe sur [tex]\left[-\frac{\pi}{6}\;;\;0\right][/tex] ?

@+

soso · 16-01-2013 20:05:45

Coucou !

que représente le point de coordonnées [tex]\left(\frac{\pi}{6}\;;\;\frac 7 4\right)[/tex] pour la courbe dans l'intervalle d'étude [tex][0\;;\; \pi][/tex] ?7/4 représente le maximum

Quel est le sens de variation de la courbe sur [tex]\left[0\;;\;\frac{\pi}{6}\right][/tex] ? La courbe est croissante (?)
Quel est le sens de variation de la courbe sur [tex]\left[\frac{\pi}{6}\;;\;\frac{\pi}{4}\right[[/tex] ? La courbe est décroissante (?)

Puis sachant cela et que ta fonction est paire et périodique :
Quel est le sens de variation de la courbe sur [tex]\left]-\frac{\pi}{4}\;;\;-\frac{\pi}{6}\right][/tex] ? je pense qu'elle est décroissante
Quel est le sens de variation de la courbe sur [tex]\left[-\frac{\pi}{6}\;;\;0\right][/tex] ?croissante

Merci :)

yoshi · 16-01-2013 20:19:53

RE,

Maximum ok !
Donc, par définition du maximum, tu peux déjà écrire [tex]f(x)\leq \frac 7 4[/tex], ou encore [tex]f(x)\leq \1,75[/tex]

Ta fonction est paire : sa courbe représentative est donc symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
Maintenant, verticalement je trace l'axe des ordonnées et obliquement croissance et décroissance...
Peux-tu compléter par symétrie par rapport à cette verticale

| 7/4
| / \
| / \
|0 [tex]\frac{\pi}{6}[/tex] [tex]\frac{\pi}{4}[/tex]

Et maintenant réponds de nouveau à ces questions :
Quel est le sens de variation de la courbe sur [tex]\left]-\frac{\pi}{4}\;;\;-\frac{\pi}{6}\right][/tex] ? je pense qu'elle est décroissante
Quel est le sens de variation de la courbe sur [tex]\left[-\frac{\pi}{6}\;;\;0\right][/tex] ?

@+

soso · 16-01-2013 20:27:08

Ahhh je crois que j'ai compris le truc.

Elle est décroissante sur [-pi/6; 0] . Elle commence à racine de 3 et se termine à -racine de 3 donc elle est forcément supérieur à 1.72, non.

yoshi · 16-01-2013 21:02:59

Re,

En fait l'intervalle qui était intéressant c'était [tex]\left]-\frac{\pi}{4}\;;\,-\frac{\pi}{6}\right][/tex] sur lequel la fonction était croissante de[tex] \frac{1+\sqrt 6}{2}[/tex] à [tex]\frac 7 4[/tex]
Donc, sur cet intervalle tu peux écrire que :
[tex]\frac{1+\sqrt 6}{2}< f(x)[/tex] ou encore avec la valeur approchée à 0,001 près : [tex]1,725< f(x)[/tex].

Tu vérifies que c'est vrai aussi sur [tex]\left]\frac{\pi}{6}\;;\,-\frac{\pi}{4}\right][/tex]
Comment se place 1,72 par rapport à [tex] \frac{1+\sqrt 6}{2}[/tex] ?
Conclusion ?

Quand tu auras fini, que tu estimeras avoir tout compris; tu voudras bien me dire comment tu justifies ton choix de l'intervalle d'étude (1ere question) [tex][0\;;\;\pi][/tex] sachant :
- que la fonction est paire
- qu'elle est périodique de période [tex]2\pi[/tex]
Voilà un moment que ça me gêne : je t'ai répondu oui trop vite.

@+

soso · 19-01-2013 16:11:54

Bonjour et merci pour votre réponse^^.

Je crois que j'ai compris ...

Pour l'intervalle [[tex]0;\pi[/tex]] je l'ai choisi parce que justement la période est 2[tex]\pi[/tex] et la courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnés.... C'est comme ça qu'on explique le choix d'intervalle en classe, mais j'avoue que je n'ai jamais compris pourquoi on choisit tel ou tel intervalle d'étude...

Merci.

yoshi · 19-01-2013 16:42:10

SAlut,

Bon, il fallait bien éclaircir les choses...
Donc
1. Au départ ta fonction est définie sur tout [tex]\mathbb{R}[/tex]
2. Mais, tu as montré que ta fonction est périodique (tu ne t'es pas contentée de l'affirmer ?) de période [tex]2\pi[/tex], donc tu peux te contenter de l'étudier sur [tex][-\pi\;;\;+\pi][/tex]
3. Sachant qu'elle est paire (tu ne t'es pas contentée de l'affirmer ?), tu peux dire qu'elle est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
Donc, tu peux restreindre l'étude à [tex][0\;;\;\pi][/tex] puisque le comportement de la dérivée, le sens de variation de la fonction sur [tex][-\pi\;;\;0][/tex] se déduira en faisant une symétrie par rapport à l'axes des ordonnées.

Pour revenir au pb
Sur [tex]\left]-\frac{\pi}{4}\;;\;0\right][/tex]
On a [tex]1,72<\frac{1+\sqrt 6}{2}<f(x)\leq \frac 7 4[/tex] 7/4 est obtenu pour [tex]x = -\frac{\pi}{6}[/tex]
Ta fonction est d'abord croissante jusqu'à 7/4 puis décroissante jusqu'à [tex]\sqrt 3[/tex]

Sur [tex]\left[0\;;\;\frac{\pi}{4}\right[[/tex] ta fonction est croissante de [tex]\sqrt 3[/tex] à 7/4 puis décroissante de 7/4 à [tex]\frac{1+\sqrt 6}{2}[/tex] exclu (l'énoncé exclut la borne supérieure.
Donc sur cet intervalle ta fonction décroit sans atteindre [tex]\frac{1+\sqrt 6}{2}[/tex] et 1,72 est encore inférieur à cette valeur.

Tout est clair ?

@+

soso · 19-01-2013 19:55:53

Re, :o)

C'est déjà un peu plus clair avec l'histoire des intervalles et des variations de la fonction. Mais j'ai quelques questions.

=>Imagions que j'ai une fonction impair et de période [tex]2\pi[/tex], il faut que je l'étudie sur [0; pi]? puisque quand c'est impair c'est symétrique par rapport à l'origine...

=> ça aurait changé quelque chose si la période était différente? Par exemple [tex]\pi[/tex] ou [tex]\frac{\pi}{2}[/tex]?

tu ne t'es pas contentée de l'affirmer ?

Noooooon ^^ j'ai calculer f(-x) pour la parité et f(x+2[tex]\pi[/tex]) puis f[tex](\pi).[/tex]

En tout cas, merci c'est déjà plus compréhensible ...D'abitude je suis perdue pour ce type d'exercice...

Bonne soirée,

Sophie.

Dernière modification par soso (19-01-2013 19:56:21)

yoshi · 19-01-2013 20:47:37

Salut,

Pour répondre à

=>Imaginons que j'ai une fonction impair et de période 2π , il faut que je l'étudie sur [0; pi]? puisque quand c'est impair c'est symétrique par rapport à l'origine...

C'est le cas de la fonction sinus !
Période [tex]2\pi[/tex] donc 1ere restriction de l'étude à [tex][-\pi\;;\;+\pi][/tex]
Elle est impaire donc symétrie par rapport à l'origine donc on peut restreindre l'étude à [tex][0\;;\;\pi][/tex], oui !
Pour avoir le sens de variation sur [tex][-\pi\;;\;0][/tex] On procède avec la symétrie par rapport à l'origine.

=> ça aurait changé quelque chose si la période était différente? Par exemple [tex]\pi[/tex] ou [tex]\frac{\pi}{2}[/tex]

Prends la fonction tangente : elle est périodique de période [tex]\pi[/tex] donc tu vas l'étudier entre[tex] -\frac{\pi}{2}[/tex] et [tex]+\frac{\pi}{2}[/tex]
Mais cette fonction n'est pas définie pour [tex]\frac{\pi}{2}+k\pi[/tex]...
Donc tu restreins donc d'abord plus précisément l'intervalle à [tex]\left]-\frac{\pi}{2}\;;\;\frac{\pi}{2}\right[[/tex] (exclusion des bornes).

Ensuite cette fonction est impaire, tu peux donc restreindre une deuxième fois l'intervalle d'étude, cette fois à [tex]\left[0\;;\;\frac{\pi}{2}\right[[/tex]

Ça te va ?

@+

soso · 20-01-2013 10:36:31

Bonjour,

Ouiiii c'est mieux comme ça ! Merci beaucoup, bonne journée !

:o)

Forum de mathématiques - Bibm@th.net

#1 14-01-2013 16:04:42

Limites

#2 14-01-2013 16:45:12

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#3 14-01-2013 17:25:16

Re : Limites

#4 14-01-2013 19:51:05

Re : Limites

#5 15-01-2013 15:46:50

Re : Limites

#6 16-01-2013 13:39:09

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#7 16-01-2013 14:24:44

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#8 16-01-2013 14:36:26

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#9 16-01-2013 14:42:00

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#10 16-01-2013 15:07:00

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#25 20-01-2013 10:36:31

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