Terminal S Trigonométrie

soso · 12-01-2013 19:10:35

Hello!

Je bloque pour un exercice.. Pouvez-vous m'éclaircir, svp ?

Le voici

Dans un repère on considère les courbe (T) et (T2) des fonction f₁ et f₂ définie sur [tex][0\;;\;2\pi][/tex] par
[tex]f_1(x)=\cos(x)[/tex]
[tex]f_2(x)=\sin\left(3x+\frac{\pi}{2}\right)[/tex]
1. Calculer les coordonnées des points d'intersection des deux courbes
2.Déterminer les équations des tangentes à (T) et (T2) en ces points d'intersection.

Voici ce que j'ai fait:
1.
Quand les deux courbe se croisent on a f1=f2
<=> [tex]\cos(x)=\sin\left(3x+\frac{\pi}{2}\right)= \cos(3x)[/tex]
Après la je bloque j'ai bien envie de faire
<=>3cos(x) Mais je pense que c'est une horreur !

2.Déterminer les équations des tangentes en ces points d'intersections.

Merci d'avance :)

Dernière modification par soso (12-01-2013 19:12:07)

ymagnyma · 12-01-2013 23:13:11

Bonsoir Soso,

l'équation [tex]cos(x) = cos(3x)[/tex] est assez simple à résoudre, niveau 1ère :
[tex]cos(a)=cos(b)[/tex] ssi [tex]a= b + k2\pi[/tex] ou [tex]a = -b + k2\pi[/tex]
Attention, ici tu travailles seulement sur [tex][0 ; 2\pi][/tex]

Bon courage, et si tu n'es pas sûre de formules type [tex]cos(3x)=3cos(x)[/tex], teste-les pour des valeurs "simples".
Tiens, en 0 par exemple :
[tex]cos(3 \times 0) = cos(0)=1[/tex] mais [tex]3cos(0)=3[/tex]. Déjà c'est mal parti ...

Dernière modification par ymagnyma (12-01-2013 23:13:46)

soso · 13-01-2013 10:36:19

Bonjour à tous,

merci pour vos réponses ! :)

Voici ce que ça me donne:
[tex]\cos(x)=\sin\left(3x+\frac{\pi}{2}\right)= \cos(3x)[/tex]

On a donc deux solutions

[tex]\alpha=2k\pi[/tex] ou [tex]\alpha=-2k\pi[/tex]
vu que x=0

3x=x
<=>2x=0
<=>x=0
?

soso · 13-01-2013 10:39:10

Ou peut -être c'est :

[tex]3x+k2\pi[/tex] ou [tex]-3x+k2\pi[/tex]
Cette réponse me semble plus correcte...

yoshi · 13-01-2013 10:41:31

@tous (et un en particulier)

S'il vous plaît, ne vous précipitez pas pour répondre à la place d'ymagnyma.
Laissez-le conduire son affaire...
Merci d'avance

Yoshi
- Modérateur -

[EDIT] Je ne vais donc pas transgresser ma propre demande, simplement rappeler que ymagnyma t'a dit que pour résoudre
[tex]\cos(x) = \cos(3x)[/tex]
tu devais penser que

[tex]cos(a)=cos(b)[/tex] ssi [tex]a= b + k2\pi[/tex] ou [tex]a = -b + k2\pi[/tex]
Attention, ici tu travailles seulement sur [tex][0 ; 2\pi][/tex]

soso · 13-01-2013 10:59:49

Bonjour, merci pour votre réponse!

j'avoue que je ne suis pas très forte en trigo ...je ne vois vraiment pas ce que ça change sur mon cercle x) Je comprends rien aux intervalles ...

Dernière modification par soso (13-01-2013 11:05:07)

ymagnyma · 13-01-2013 11:13:57

Bonjour Soso, reprends et complète ton post#4 : qu'est qui est égal à [tex]3x+k2\pi[/tex] et aussi qu'est qui est égal à [tex]-3x + k2\pi[/tex] ?

Résout alors ces deux équations, en tenant compte du fait que tu cherches des solutions dans [tex][0 ; 2\pi][/tex] (donc fermé en [tex]2\pi[/tex])

tu devrais trouver en tout et pour tout 5 solutions.

dans un premier temps, n'hésite pas à poster les équations et es solutions dans R, (là il y en a une infinité qui dépendent de k, k dans Z).

soso · 13-01-2013 11:19:36

Bonjour ymagnyma,

voici ce que je propose ,

[tex]\frac{\pi}{2}[/tex],[tex]\frac{-\pi}{2}[/tex],[tex]\frac{3\pi}{2}[/tex],[tex]\frac{-3\pi}{2}[/tex] et enfin [tex]2\pi[/tex]

merci !

Dernière modification par soso (13-01-2013 11:20:03)

ymagnyma · 13-01-2013 11:39:14

Humm, il y a du bon, et, pour deux raisons, du moins bon.
Il faudrait que tu détailles ta résolution pour qu'on voit une partie de ce qui ne va pas.

Les deux points faibles de ta réponse :
* tu travailles entre 0 et 2\pi. Immédiatement, je vois qu'il y a deux réponses incorrectes.

*[tex] -\frac{\pi}{2} + 2\pi[/tex], histoire de revenir entre 0 et [tex]2\pi[/tex], ça fait ... [tex]\frac{3\pi}{2}[/tex]. Tu l'as déjà.
de même [tex]-\frac{3\pi}{2} + 2\pi[/tex], c'est [tex]\frac{\pi}{2}[/tex], tu l'as aussi.

Du coup tu as trois solutions. il y en a une autre que tu as proposée dans un autre post, et une dernière qui vient de la même équation.

à suivre donc.

Dernière modification par ymagnyma (13-01-2013 11:41:03)

soso · 13-01-2013 13:44:28

Je ne comprends pas vraiment :/ Comment fait on la différence entre les intervalles? [tex][-\pi; \pi][0;\pi] [0;2\pi]...[/tex]?

ymagnyma · 13-01-2013 14:46:25

Dans l'énoncé, l'intervalle d'étude est imposé et il s'agit de [tex][0 ; 2\pi][/tex].

Quand tu résous [tex]x^2=9[/tex], ta réponse est [tex]x=-3[/tex] ou [tex]x=3[/tex]. Mais si [tex]x[/tex] représente une distance, alors, seule la solution [tex]x=3[/tex] convient. En fait, tu résous alors l'équation [tex]x^2=9[/tex] pour [tex]x>=0[/tex].

Dans ton exercice c'est pareil, on ne veut que les solutions comprises entre 0 et [tex]2\pi[/tex]. C'est pourquoi je te demande d'écrire les équations que tu as résolues pour voir avec toi où et comment se fait "la sélection" des valeurs convenables.

Dernière modification par ymagnyma (13-01-2013 14:47:24)

soso · 13-01-2013 16:04:39

Voici les équations que j'ai trouvé
[tex]x=3x +2k\pi[/tex]
<=>[tex]-2x= 2k\pi[/tex]
<=>[tex]x=-k\pi[/tex]

OU

[tex]x=-3x +2k\pi[/tex]
<=>[tex]4x= 2k\pi[/tex]
<=>[tex]x=\frac{2\pi}{4}k[/tex]
[tex]x =\frac{k}{2}[/tex]

Et après je bloque pour la résolution... Je dois remplacer k par 0,1 et 2, non? vu que c'est [tex]2\pi[/tex] l'intervalle d'étude ?
Merci :)

ymagnyma · 13-01-2013 16:20:22

Pour la première équation, ok, pour la deuxième, c'est [tex]0.5k\pi[/tex], ce que tu as sans doute trouvé, mais il manquait un [tex]\pi[/tex] et c'est bon.
Après tu prends toutes les valeurs de k, positives ou négatives telles que -k\pi soient dans [tex][0 ; 2\pi][/tex]. Puis tu prends toutes les valeurs de k, positives ou négatives telles que [tex]0.5k\pi[/tex] soient dans [tex][0 ; 2\pi][/tex].

Tu auras alors toutes les solutions. Pense bien que k peut aussi bien être égal à -1, -2 , -3 ...

soso · 13-01-2013 17:42:51

Donc pour la première équation j'ai:
[tex]-\pi[/tex],[tex]-2\pi[/tex],[tex]-3\pi[/tex],[tex]0[/tex]
[tex]\pi[/tex][tex]2\pi[/tex][tex]3\pi[/tex]

On ne doit prendre en compte que 0 et 2pi vu que le reste n'est pas compris dans l'intervalle [0;[tex]2\pi[/tex]]

Pour la deuxième équation:

j'ai
pour k=-1 [tex]-\frac{\pi}{2}[/tex]
k=-2[tex]-\pi[/tex]
k=-3[tex]\frac{-3\pi}{2}[/tex]
k=0 [tex]0[/tex]
k=1[tex]\frac{\pi}{2}[/tex]
k=2[tex]\pi[/tex]
k=3[tex]\frac{3\pi}{2}[/tex]

Les solutions sont donc
0, [tex] 2\pi [/tex][tex]\frac{3\pi}{2}[/tex][tex]\pi[/tex] et [tex]\frac{\pi}{2}[/tex]

Juste une petite question: Comment sait on le k qu'il faut rendre ? C'est par rapport au nombre de tour?

Pour la question 2, je dois dérivé ?

ymagnyma · 13-01-2013 18:07:48

Pour la première équation, parmi les solutions que tu donnes il y en a trois et non deux qui conviennent.
Bref, tu trouves les 5 solutions, c'est bien.

Pour la deuxième question, en effet, dès qu'il est question de tangentes, les nombres dérivés ne sont souvent pas bien bien loin.

Donc oui, dérive, puis écris les équations des tangentes, soit directement via une formule de cours, soit en retrouvant chaque équation, connaissant un point de la droite et son coefficient directeur.

totomm · 13-01-2013 23:10:09

Bonsoir,

Pour bien voir, après question 1 résolue :

Dernière modification par yoshi (14-01-2013 09:46:58)

yoshi · 14-01-2013 10:54:13

Bonjour,

La résolution de mon écran (en 1920 x 1200) est de 100 points par pouce maximum
Pour un écran standard, afficher une image en 72 points par pouce est largement suffisant.
Où est l'intérêt donc d'afficher sur Bibmath une image en 300 points par pouce ?
Cela a été rectifié en laissant une résolution supérieure quand même à 100 dpi et une taille un peu réduite...

La question 1. étant résolue, ymagnyma ayant bien mené sa barque, je ne vois plus aucune objection à des "compléments alimentaires", puisqu'on ne risque plus d'interférer avec le schéma directeur de l'auteur....
D'autant que, en l'occurrence, personnellement, c'est un réflexe que j'ai dans toute étude de fonction afin de savoir où "je mets les pieds", même avant tout calcul.

Si l'emploi d'une calculatrice graphique ne te convient pas alors utilise un logiciel pour tes tracés :
Geolabo de Fred
Grapheasy un shareware (tu es censée l'acheter si tu l'utilises souvent)
Geogebra dont se sert ymagnyma. Plus complet, mais moins simple
Un tuto ici : http://www.lp2i-poitiers.fr/spip.php?article708

Oui, cos(3x) = 3cos(x) était une horreur...
Ymagnyma t'a montré un contre exemple avec cos(0) et 3cos(0).
Sache que [tex]\cos(3x)=4\cos^3(x)-3\cos(x)[/tex].
On peut le retrouver à partir de
- la formule de Moivre (si tu as vu les complexes)
- la transformation [tex]\cos(3x)=\cos(2x+x)= \cos(2x)\cos(x)-\sin(2x)\sin(x)[/tex]
et en pensant que [tex]\cos(2x)= 2\cos^2(x)-1,\;\sin(2x)=2\sin(x)\cos(x)\text{ et }\sin^2(x)=1-2\cos^2(x)[/tex]
Mais c'est long et "pénible" !

Dans l'équation qui te préoccupais [tex]\cos(3x)=\cos(x)[/tex], ce n'était pas la méthode la plus simple et la plus courte. Dans l'avenir, un jour ou l'autre, tu seras amenée à en passer par là quand même. Mais ce sera une autre histoire.

@+

soso · 14-01-2013 14:06:55

Bonjour à tous :-)

et merci pour toutes vos réponses!!
Oui j'ai vu la formule de moivre et les complexes ! Mais je ne vois pas comment j'aurais pu m'y prendre :S.

Mais pour le truc avec k. Comment sait on s'y faut prendre k=0 k=-1 k=-2...? il y a tellement de k dans Z ... y a pas une astuce ?

J'attaque la question 2
[EDIT]
[tex]f(x)=cos x[/tex]

[tex]f'(x)=-sin x[/tex]
J'ai besoin de dérivé que la première, non ?

j'ai quatre équation
y=1 (pour 0 et [tex]\pi[/tex])
y=x-1 ( pour [tex]\frac{3\pi}{2}[/tex])
y=-1( pour [tex]\pi[/tex])
y=-x-1 (pour [tex]\frac{\pi}{2}[/tex]

Dernière modification par soso (14-01-2013 14:32:55)

yoshi · 14-01-2013 14:48:02

re,
[tex]
(\cos(x)+i\sin(x))^3 = \cos(3x)+i\sin(3x)[/tex]
On développe le 1er membre avec [tex](a + b)^3[/tex] :

(je transforme [tex]i^2 en -1[/tex] et [tex]i^3 en -i[/tex])
[tex](\cos(x)+i\sin(x))^3 = \cos^3(x)+3i\cos^2(x)\sin(x)-3\cos(x)\sin^2(x)-i\sin^3(x)[/tex]

[tex]\Leftrightarrow[/tex]

[tex](\cos(x)+i\sin(x))^3 = [\cos^3(x)-3\cos(x)\sin^2(x)]+i[(3\cos^2(x)\sin(x)-\sin^3(x)][/tex]

[tex]\Leftrightarrow[/tex]

[tex][\cos^3(x)-3\cos(x)\sin^2(x)]+i[(3\cos^2(x)\sin(x)-\sin^3(x)] = \cos(3x)+i\sin(3x)[/tex]

J'identifie les parties réelles :
[tex]\cos^3(x)-3\cos(x)\sin^2(x) = \cos(3x)[/tex]
Je me sers maintenant de : [tex]\sin^2(x)=1-\cos^2(x)[/tex]
D'où
[tex]\cos^3(x)-3\cos(x)\sin^2(x) = \cos^3(x)-3\cos(x)(1-\cos^2(x))[/tex]
On développe, on réduit :
[tex]\cos(3x) = 4\cos^3(x)-3\cos(x)[/tex]

Sinon, pour vérifier tes solutions, à l'avenir, ou même les connaître avant résolution, je ne peux que t'encourager à suivre le - bon - conseil de totomm : tracer les courbes...

Pour le 2), je ne vais pas répondre à la place d'ymagnyma et lui couper l'herbe sous le pied...
Pt'et une suggestion : sers-toi de ta calculatrice graphique et tu verras...

@+

soso · 14-01-2013 15:08:37

re,

la formule de moivre me paraît un peu compliqué O.o
j'ai compris les calculs mais le reste ....

Je crois que j'ai bon pour le y=1 et y=-1

ymagnyma · 14-01-2013 18:53:52

soso a écrit :

[tex]f'(x)=-sin x[/tex]
J'ai besoin de dérivé que la première, non ?
j'ai quatre équation
y=1 (pour 0 et [tex]\pi[/tex])
y=x-1 ( pour [tex]\frac{3\pi}{2}[/tex])
y=-1( pour [tex]\pi[/tex])
y=-x-1 (pour [tex]\frac{\pi}{2}[/tex]

La question est de trouver les tangentes à (T) et (T2) ; tu as donc, a priori, à trouver les équations de 10 tangentes, cool !

Tu trouves y=1 pour 0 et [tex]\pi[/tex] et y=-1 pour [tex]\pi[/tex] ? erreur de frappe ?

Je ne suis pas d'accord pour les équations en [tex]\frac{\pi}{2}[/tex] et [tex]\frac{3\pi}{2}[/tex].

Comment as-tu procédé ? Tu as dérivé, c'est bien, mais ensuite ?

Dernière modification par ymagnyma (14-01-2013 18:54:55)

ymagnyma · 14-01-2013 18:58:26

p.s. effectivement, pour reprendre les apports de Totomm et Yoshi, si tu sais utiliser GeoGebra, (le sais-tu ?), tu peux tracer les courbes et les tangentes voulues, tu visualiseras alors leurs équations. il ne te restera "plus" qu'à les trouver. Figure à venir.

soso · 14-01-2013 19:06:33

voici comment j'ai fait
->j'ai dérivé cosx qui me donne f'(x)=- sinx
En utilisant cette formule, T: y=f'(a)(x-a)+f(a) j'ai calculé les différentes tangentes.

Voici le détail:

Pour 0 y=0*x +1=1
Pour [tex]2\pi y= 0*(x-0)+1=1[/tex]
Pour [tex]\frac{3\pi}{2} y= 1(x-1)+0=x-1[/tex]
Pour [tex]\pi y= 0(x-0)-1=-1[/tex]
Pour [tex]\frac{\pi}{2} y= -1(x+1)+0=-x-1[/tex]

Oui je viens de le télécharger ^^

soso · 14-01-2013 19:10:50

Pour Geogebra, je n'arrive pas à l'arranger sur l'intervalle [0;2pi] et ça me donne des oscillations bizarre :S

ymagnyma · 14-01-2013 19:13:16

Bon, pour la méthode, c'est bien. Pour la pratique, ..., c'est moins bien. Tu ne fais pas ce que tu annonces.
[tex]x-a[/tex], quand a vaut [tex]2\pi[/tex], ça ne fait pas [tex]x-0[/tex], mais, ..., [tex]x-2\pi[/tex].

de même pour les autres.

La figure arrive, tu pourras voir si tu arrives à faire la même.

Forum de mathématiques - Bibm@th.net

#1 12-01-2013 19:10:35

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