Endomorphisme

Valentin · 22-11-2012 23:04:53

Bonsoir à tous,
J'ai une question : comment montrer qu'il existe un unique endomorphisme f de l'espace vectoriel k^4 : f(0,1,1,1)=(0,0,1,1); f(1,1,0,0)=(0,1,0,1); f(1,0,1,0)=(0,1,1,0); f(1,0,0,1)=(1,1,1,1).
D'avance merci.
Valentin

MOHAMED_AIT_LH · 23-11-2012 04:01:22

Salut;
Pour simplifier, posons : [tex]u_1=(0,1,1,1) , u_2=(1,1,0,0) , u_3=(1,0,1,0) [/tex] et [tex] u_4=(1,0,0,1)[/tex].
[tex]\bullet[/tex] Tu démontres que [tex]\mathcal B =(u_1,u_2,u_3,u_4)[/tex] est une base de [tex]{\mathbb K}^4[/tex]
[tex]\bullet[/tex] Unicité : si deux endomorphismes f et g coincident en les vecteurs d'une base de [tex]{\mathbb K}^4[/tex]
, que peut dire de ces endomorphismes ?
[tex]\bullet[/tex] Soit [tex]x=x_1 u_1 + x_2 u_2 + x_3 u_3 + x_4 u_4 \in {\mathbb K}^4[/tex]. Si [tex]f[/tex] existe , que vaut [tex]f(x)[/tex] ? Réciproquement, si on adopte cette relation définit elle un endomorphisme qui réponds aux conditions demandées ?

Dernière modification par MOHAMED_AIT_LH (23-11-2012 04:04:39)

Valentin · 23-11-2012 20:34:14

Salut Mohamed,
Merci pour ta réponse!
Pour le premier point a) [tex]dim\left({\mathbb{K}}^{4}\right)=4[/tex] et la famille [tex]\left({u}_{1},{u}_{2},{u}_{3},{u}_{4}\right)[/tex] est libre car [tex]\forall {\lambda }_{\iota }\in \mathbb{K},\,{\lambda }_{1}{u}_{1}+{\lambda }_{2}{u}_{2}+{\lambda }_{3}{u}_{3}+{\lambda }_{4}{u}_{4}=0,\,{\lambda }_{i}=0,\,\forall i[/tex].
B est donc une base de K⁴.
b) Unicité
Je n'ai pas compris ce point!
Valentin

Valentin · 23-11-2012 20:46:03

[tex]Si\,x\in \mathbb{K}[/tex], x peut s'écrire de façon unique: [tex]x={x}_{1}{u}_{1}+{x}_{2}{u}_{2}+{x}_{3}{u}_{3}+{x}_{4}{u}_{4}[/tex]. Mais comment déterminer x₁,x₂,x₃,x₄?

Valentin · 23-11-2012 20:54:30

si f existe, alors f peut s'écrire: [tex]f\left(x\right)={x}_{1}f\left({u}_{1}\right)+{x}_{2}f\left({u}_{2}\right)+{x}_{3}f\left({u}_{3}\right)+{x}_{4}f\left({u}_{4}\right)[/tex]
Avec f(u₁)=(0,0,1,1); f(u₂)=(0,1,0,1); f(u₃)=(0,1,1,0); f(u₄)=(1,1,1,1).

MOHAMED_AIT_LH · 23-11-2012 21:42:48

Salut
pour le point que tu n'as pas compris si f et g sont deux endomorphismes de [tex]{\mathbb K}^4[/tex] tel que [tex]\forall i \in \{1,2,3,4\}) \quad f(u_i)=g(u_i)[/tex] ne vois tu pas que [tex]f=g[/tex] ?

Pour l'autre : tu n'as pas besoin de determiner [tex]x_1,x_2,x_3[/tex] et [tex]x_4[/tex], cependant tu es sûr qu'ils existent et sont uniques car il s'agit d'une base donc ce sont les seules coordonnées de [tex]x[/tex] dans cette base . On n'a pas besoin de les calculer

La dernière réponse est exacte et elle te donne justement ce que tu cherches en ajoutant les [tex]x_i[/tex] les coordonnées de [tex]x[/tex] dans la base [tex](u_1,u_2,u_3,u_4)[/tex]

Valentin · 25-11-2012 19:22:18

Salut Mohamed,

Pour l'unicité de f et g. Voici ce que j'ai compris:
Soient [tex]E\rightarrow F\,{B}_{E}=\left({e}_{1},{e}_{2},{e}_{3},{e}_{4}\right)[/tex] et [tex]{B}_{F}=\left({f}_{1},{f}_{2},{f}_{3},{f}_{4}\right)\,f\left(x\right)=\sum^{4}_{i=1}{x}_{i}f\left({e}_{i}\right)[/tex] et [tex]g\left(t\right)=\sum^{4}_{i=1}{t}_{i}g\left({f}_{i}\right)[/tex]
Or, si E=F, alors f=g
dim(E)=dim(F)=n.
Donc f=g.

MOHAMED_AIT_LH · 27-11-2012 00:51:09

Salut,
@Valention :
tu as introduit [tex]E[/tex] et [tex]F[/tex] alors qu'on n'en a pas besoin car dans ton problème initial tu cherche un endomorphisme de [tex]K^4[/tex]
De plus tu compare [tex]f[/tex] et [tex]g[/tex] alors que [tex]f[/tex] agit sur des vecteurs de [tex]E[/tex] et [tex]f[/tex] sur des vecteurs de [tex]F[/tex] ...
=====

Je t'explique mieux l'idée :
Tu as démontré que [tex]B=(u_1,u_1,u_3,u_4)[/tex] est une base de [tex]K^4[/tex]
si [tex]f[/tex] et [tex]g[/tex] sont deux endomorphismes de [tex]K^4[/tex] qui répondent aux probème posé initialement alors on a : [tex](\star) \quad f(u_i)=g(u_i)[/tex], pour tout [tex]i=1,..,4[/tex]
Soit [tex]x \in K^4[/tex]
Puisque [tex]B[/tex] est une base de [tex]K^4[/tex] , [tex]x[/tex] s'écrit de façon unique [tex]x= \sum_{k=1}^4 x_k u_k.[/tex]
Il en résulte que [tex]f(x) = \sum_{k=1}^4 x_k f(u_k)[/tex] et [tex]g(x) = \sum_{k=1}^4 x_k g(u_k)[/tex]
D'après [tex](\star)[/tex] il en résulte que [tex]f(x)=g(x)[/tex]
Cela étant pour tout [tex]x \in K^4[/tex] on a alors [tex] f=g[/tex]
D'où l'unicité de la solution du problème posé.

Valentin · 29-11-2012 00:05:30

Salut Mohamed,
Merci beaucoup pour tout.
Pour démontrer l'existence d'un endomorphisme, il faut démontrer les trois points que tu m'as souligné: la base de l'espace vectoriel; l'unicité des endomorphismes et enfin l'expression générale de l'endomorphisme!
J'ai maintenant une autre question à poser:

Soient [tex]{A}_{1},{A}_{2}-{A}_{1},{A}_{3}-{A}_{2}...,{A}_{n}-{A}_{n-1}[/tex] les colonnes d'une matrice carrée A.
Montrer que le déterminant de cette matrice colonne coïncide avec le det(A).

MOHAMED_AIT_LH · 30-11-2012 01:10:10

Salut

Valentin a écrit :

Salut Mohamed,
Merci beaucoup pour tout.
Pour démontrer l'existence d'un endomorphisme, il faut démontrer les trois points que tu m'as souligné

Non, Valentien, cela concerne cette question précisément. Ce n'est pas une méthode à suivre dans toutes les situations.

Valentin · 30-11-2012 18:45:10

salut Mohamed,
ok, c'est donc un cas particulier! Merci.

MOHAMED_AIT_LH · 01-12-2012 03:51:56

Salut!
Oui, Valentin.
Le théorème suivant donne une généralisation :

Théorème:
Soit [tex]E[/tex] et [tex]F[/tex] deux [tex]K[/tex] espaces vectoriels. Si [tex]B =(e_i)_{i \in I}[/tex] est une base de [tex]E[/tex] et [tex]C=(v_i)_{i \in I}[/tex] une famille de vecteurs de [tex]F[/tex] alors il existe une et une seule application linéaire [tex]f[/tex] de [tex]E[/tex] vers [tex]F[/tex] tel que : [tex] (\forall i \in I) \quad f(e_i)=v_i.[/tex]

Ecplicitement, si [tex]x \in E[/tex] tel que [tex]x= \sum_{i \in I} \lambda_i e_i[/tex] où [tex](\lambda_i)_{i \in I}[/tex] est une famille de scalaires à support fini (famille nulle sauf pour un nombre fini d'indices), alors [tex] f(x)= \sum_{i \in I} \lambda_i v_i.[/tex]

Dernière modification par MOHAMED_AIT_LH (01-12-2012 03:52:57)

Valentin · 02-12-2012 21:51:35

Salut Mohamed,
Merci pour ce théorème qui est une application directe de ce que l'on a démontré.

Forum de mathématiques - Bibm@th.net

#1 22-11-2012 23:04:53

Endomorphisme

#2 23-11-2012 04:01:22

Re : Endomorphisme

#3 23-11-2012 20:34:14

Re : Endomorphisme

#4 23-11-2012 20:46:03

Re : Endomorphisme

#5 23-11-2012 20:54:30

Re : Endomorphisme

#6 23-11-2012 21:42:48

Re : Endomorphisme

#7 25-11-2012 19:22:18

Re : Endomorphisme

#8 27-11-2012 00:51:09

Re : Endomorphisme

#9 29-11-2012 00:05:30

Re : Endomorphisme

#10 30-11-2012 01:10:10

Re : Endomorphisme

#11 30-11-2012 18:45:10

Re : Endomorphisme

#12 01-12-2012 03:51:56

Re : Endomorphisme

#13 02-12-2012 21:51:35

Re : Endomorphisme

Pied de page des forums