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Weezzy

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Algebre Application lineaire

Bonjour j'aimerai de l'aide pour resoudre un exercice d'algebre tres important :

Soit E un K-espace vectoriel. Un endomorphisme h appartient a Lk(e) est dit idempotent si h^2=h. Soient f et g deux endomorphisme:
a) Montrer que f+g est idempotent si fog = gof =0
b) Dans ce cas montrer que : Im(f+g) = Im(f) somme direct Im(g)  et Ker(f+g) = Ker(f) somme direct Ker(g)

Merci

Fred

Administrateur

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Messages : 7 352

Re : Algebre Application lineaire

Re-

http://www.bibmath.net/exercices/index. … uoi=alglin,
feuille Applications linéaires - études théoriques - Exercice n°10.....

F.

manal

Invité

Re : Algebre Application lineaire

bonjour s'il vous plait j'ai besoin de l'aide pour résoudre un exercice de l’algèbre très important  et merci d’avance
Exercice 8 On d´efinit l’application lin´eaire u : R3 → R3
par :
u(x, y, z) = (x + 6y − z, x + z, x − 3y + 2z).
On note id l’application lineaire “identite” de R3
dans R3.
1. Ecrire la matrice A de u dans la base canonique e1 := (1, 0, 0), e2 := (0, 1, 0), e3 := (0, 0, 1).
2. Donner une base de Im(u) et une ´equation de Im(u).
3. Montrer que les sous-espaces vectoriels Ker(u) et Ker(u − 3id) sont de dimension 1 ; donner un vecteur
formant une base de chacun de ces sous-espaces.
4. Calculer la matrice de u2 et en deduire que Ker(u2) est un sous-espace de dimension 2, contenant Ker(u).
5. Construire une base f1, f2, f3 de R3
telle que f1 soit une base de Ker(u − 3id), f2 une base de Ker(u) et{f2, f3} une base de Ker(u2). Comment s’ecrit la matrice B de u dans cette nouvelle base??