suite récurrente

anonymous · 29-10-2012 14:01:05

Bonjour à tous,
j'ai un exercice sur les suites que j'ai réussi à faire à moitié, mais la partie manquante s'avère compliqué pour moi.
Voici l'énoncé:

1) On a a[tex]_{n}=v_{n}-u_{n}[/tex]

Montrer que[tex] (a_{n})[/tex] c'est une suite géométrique: je trouve une suite géométrique de raison [tex]\frac{1}{12}[/tex] ==> fait

2)montrer que u et v sont adjacente: ==> fait

3)
Montré qu'il existe deux réels x et y tels que[tex] t_{n}=x u_{n}+y v_{n}[/tex] est stationnaire je n'y arrive pas.
Il me semble que je dois résoudre [tex]t_{n+1}=t_{n}[/tex], en la résolvant je trouve x et y =0 ce qui est faux.

4)
Trouver donc les limites des suites (un) et (vn)==> il faut d'abord que je fasse la 3 auparavant.

Merci d'avance pour votre aide

ymagnyma · 29-10-2012 17:09:04

Bonjour, pour le 3. dans un premier temps, tu peux supposer que [tex](t_n)[/tex] existe.
Alors, puisque [tex](t_n)[/tex] est stationnaire, tu as en particiculier [tex]t_0=t_1[/tex].
Cette égalité te fournie deux équations en x et y, je te laisse trouver les solutions ; point d'affolement, ça marche bien.

Tu trouves donc un couple [tex](x,y)[/tex] qui convient pour [tex] t_0=t_1[/tex].
Vérifie alors ce couple convient pour tout entier n en calculant [tex]t_{n+1}-t_n[/tex].
(Tu vas bien trouver 0)

Le 4. se fait alors tout seul par passage à la limite, comme tu l'avais prévu.

anonymous · 29-10-2012 17:21:40

ymagnyma a écrit :

Bonjour, pour le 3. dans un premier temps, tu peux supposer que [tex](t_n)[/tex] existe.
Alors, puisque [tex](t_n)[/tex] est stationnaire, tu as en particiculier [tex]t_0=t_1[/tex].
Cette égalité te fournie deux équations en x et y, je te laisse trouver les solutions ; point d'affolement, ça marche bien.
Tu trouves donc un couple [tex](x,y)[/tex] qui convient pour [tex] t_0=t_1[/tex].
Vérifie alors ce couple convient pour tout entier n en calculant [tex]t_{n+1}-t_n[/tex].
(Tu vas bien trouver 0)
Le 4. se fait alors tout seul par passage à la limite, comme tu l'avais prévu.

Ahh ok merci je suis bien retombée sur x=3 et y=8 ce qui est la bonne réponse :D

Merci de votre aide et passez une bonne fin de journée :D

ymagnyma · 29-10-2012 17:35:44

Merci, mais j'ai trouvé 3/99 et 8/99, ce qui me semble un peu mieux pour la limite à trouver, qui doit être entre 1 et 12, non ?

anonymous · 29-10-2012 18:21:17

euhh
j'ai tous essayé sur xCas et c'est bien 3 et 8.
Pour la limite, je en sais pas encore, je ne l'ai pas faite.

Je vais essayer avec vos valeurs pour voir si ca fonctionne également.

anonymous · 29-10-2012 18:24:21

J'ai essayé avec vos valeurs et elles fonctionnent également, étrange tous ca

anonymous · 29-10-2012 18:25:22

http://www.xcasenligne.fr/giac_online/demoGiacPhp.php c'est avec ce logiciel que j'ai fait les calculs

freddy · 29-10-2012 18:45:42

Salut,

la limite = 9, sauf erreur de calculs !

anonymous · 29-10-2012 18:50:05

Salut freddy, merci de votre réponse.
Concernant les valeurs de x et y, vous en pensez quoi ? car c'est un peu byzarre que l'on trouve deux réponses différentes qui sembles juste

freddy · 29-10-2012 19:52:42

Re,

pour trouver x et y, le raisonnement est plutôt le suivant :

x et y sont tels que [tex]x\times u_{n+1}+y\times v_{n+1} = x\times u_n+y\times v_n = A[/tex], A est une constante indéterminée pour le moment.

On a l'équation suivante, vraie pour tout n :

[tex](\frac{x}{3} + \frac{y}{4} - x)u_n + (\frac{2x}{3}+\frac{3y}{4}-y)v_n = 0[/tex]

On en déduit que [tex]x = \frac38 y[/tex] et [tex]y = \frac{8}{99} A[/tex], ce qui montre que x et y sont déterminés à une constante multiplicative près. En particulier, on trouve la solution particulière [tex]x=y=A = 0[/tex] !

Ceci explique cela !

anonymous · 29-10-2012 20:09:29

Ahh mais oui votre raisonnement est complètement différent et beaucoup mieux que celui que je propose je trouve. Merci

Vous n"avez pas fait une faute pour vos valeurs de x et y car si on remplace, le terme de gauche ne vaut pas zéro

freddy · 29-10-2012 22:38:12

Re,

le coefficient de [tex]u_n[/tex] est égal à [tex]\frac{y}{8}+\frac{y}{4}−\frac38 y=0[/tex] ;

le coefficient de [tex]v_n[/tex] est égal à [tex]\frac{y}{4}+ \frac{3y}{4}-y=0[/tex].

anonymous · 30-10-2012 11:50:34

Re, merci de votre explication freddy. Passer un bon début de journée :D

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