somme de plusieurs suites géométriques sous forme de losange

Lachkar · 10-02-2012 19:49:02

Bonjour,

J'ouvre cette discussion en cherhchant a travers vous une réponse sur la conjecture appelée « conjecture de Lachkar LM « qui est inconnue pour le moment.

Le principe consiste à dresser un tableau de n lignes et n colonnes et on écrit sur la première ligne la suite des nombres entiers positifs, en intercalant une case pleine avec une case vide soit :
1, ,2, , 3, , 4, , 5, , 6, , 7, , 8, , 9, , 10, , 11, …..
et sur chaque ligne suivante on écrit la valeur de la somme entre deux valeurs consécutives de la ligne précédente, dans la case vide, ce qui équivaut, en notant an les valeurs de la suite d'une certaine ligne et bn celles de la ligne suivante, à :

bn = an + an + 1 .

On obtient ainsi une succession de lignes :

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, …..
3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, …
8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, …
20, 28, 36, 44, …
48, 64, 80, …

1 2 3 4 5
3 5 7 9
8 12 16
20 28
48

La conjecture s'énonce ainsi :
Elle consiste à déterminer la somme des nombres contenus dans un losange. Ces nombres sont placés dans les cases d’un tableau suivant une progression géométrique qui est formée par la somme des nombres consécutives des lignes précédentes qui sont notés dans les cases alternées des lignes suivantes, à chaque opération d’addition des nombres consécutifs précédents.

Exemple

Soit a déterminer la somme des nombres d’un losange dont le sommet est le nombre 3 et ayant 3 nombres par coté
nous allons poser un facteur de multiplication de raison 2 pour chaque nombre de coté du losange, donc on a 3 facteurs de 2 :
soit m = 2x2x2. Donc m = 2ⁿ avec n est égale au quantité des nombres par côté ou par diagonale du losange.
Donc la somme sera égale au produit du sommet du losange par ( m – 1)² m est multiple de 2

On peut aussi écrire la formule de la somme

S = s (2ⁿ - 1)²

n est égale au nombres par côté du losange et s est le sommet du losange

1 2 3 4 5
3 5 7 9
8 12 16
20 28
48

Remarque: les colonnes sont des suites géomatique de raison 4

S = 3(2³ – 1)² avec cas de n=3 et s=sommet =3
S= 3x7² = 147

Cette formule est valable pour tout losange de n cotés
Ma question que peut-on faire avec cette conjecture ?
Peut-on trouver une utilisation ?
Merci

Salut

yoshi · 13-02-2012 10:07:23

Bonjour,

Je vais essayer de trouver le temps de refaire les calculs, de trouver une démonstration de ta formule.
En attendant deux remarques
1. Je ne vois pas de losange mais un triangle, qui n'a jamais plus de 3 côtés...
2. Un losange lui, n'a jamais n côtés mais 4 seulement, puisque c'est un quadrilatère.

Peux-tu mettre une image de ce que tu appelles losange ?
Pour mettre une image
1. Enregistrer l'image sur ton disque dur à un endroit où tu la retrouveras facilement (format .png, ou .jpg)
2. Aller sur http://www.casimages.com/ (par exemple)
3. Rechercher ton image dans l'arborescence de ton disque dur via le bouton Parcourir.
3. La sélectionner et valider.
4. Une fenêtre s'ouvre avec différentes propositions.
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Quant aux applications/utilisations éventuelles, désolé, je n'ai aucune idée.

@+

lachkar · 13-02-2012 10:59:46

Bonjour,

Je m'explique,

plcer les nombres dans le tableau de n lignes et n cotés avec chaque fois une case pleine suivie d'une case vide

1,.........,2...........3,........4,............5,.............6,...........7,...........................n
...... 3,.......,,5,.........7,...........9,...........11,.........13,.....................
.............8,.........12,......16,...........20,..........24....................
...................20,.......28,.........36,.........44,..........52..............
........................,48,.......64,..........80,..........96,......................
..............................112,.......144,........176,.......208,............
.....................................256,........320,........384,................
.............................................576,.......704,........852,.............
...................................................1280,......1536,......................
.....................................................................................................................
n................................................................................................................

prenons dans notre tableau le losange ayant pour sommet et pour coté a=4

...............,.............,.........,...........20,..............................
.......................,..........,.........36,.........44,.......................
........................,....,.......64,..........80,..........96,......................
..............................112,.......144,........176,.......208,............
.....................................256,........320,........384,................
.............................................576,.......704,........,.............
...................................................1280,......,......................

appliquons la formule

S = s(2⁴ - 1)²

S= 20(2⁴ - 1)² = 4500

donc la formule est valable pour tout nombre n de coté du losange quelque soit sa position dans le tableau.

Salut

Golgup · 13-02-2012 23:46:44

salut!

De quoi occuper! enfait la démonstration n'est pas compliquée mais fastidieuse et longue, il y'a de quoi s'y perdre...

je n'ai pas fait jusque au bout car je n'ait pas trop la motivation car on se retoruve toujours avec des trucs bien moche. Par exemple: la somme d'un losange de longueur de coté [tex]N[/tex] et de sommet [tex]{S}_{a,b}[/tex] (de coordonnée a,b) vaut

[tex]\sum^{N}_{k=1}\frac{k}{2}\left(2{S}_{a+\left(k-1\right),b-\left(k-1\right)}+\left(k-1\right).{2}^{a+k-2}\right)\,\,\,+\,\,\,\sum^{N-1}_{k=1}\frac{N-k}{2}\left(2{S}_{a+N-1+k,b-N+1}+\left(n-k-1\right).{2}^{a+k+2}\right)[/tex]

on doit pouvoir finir en montrant que çà vaut [tex]{S}_{a,b}{\left({2}^{N}-1\right)}^{2}[/tex]

avec [tex]{S}_{u,v}=\,{2}^{u-1}.\left(v+\frac{u-1}{2}\right)[/tex] qui designe le nombre à la coordonnée u,v ! (par ex, S_4,2=28)

Donc c'est possible mais bien fatiguant!

Dernière modification par Golgup (14-02-2012 09:56:04)

Golgup · 14-02-2012 13:54:45

Re,

il faut donc calculer la somme dans un losange, qui est

[tex]\sum^{N}_{k=1}\frac{k}{2}\left(2.{2}^{a+k-2}.\left(b-k+1+\frac{a+k-2}{2}\right)+\left(k-1\right).{2}^{a+k-2}\right)[/tex]

[tex]+[/tex]

[tex]\sum^{N-1}_{k=1}\frac{N-k}{2}\left({2}^{a+N-2+k}.\left({b-N+1+\frac{a+N-2+k}{2}}_{}\right)+\left(N-k-1\right).{2}^{a+k+2}\right)[/tex]

en simplifiant elle vaut

[tex]{2}^{a-3}.\left(\left(2b+a-1\right).\sum^{N}_{k=1}k.{2}^{k}\,\,\,+\,\,\,\,16.\sum^{N-1}_{k=1}{z}_{k}.{2}^{k}\right)[/tex]

avec [tex]{z}_{k}=\,\left(N-k\right)\left({2}^{N-4}.\left(2b-N+a+k\right)+N-k-1\right)[/tex]

en trifouillant on doit montre que ça vaut [tex]{2}^{a-1}.\left(b+\frac{a-1}{2}\right).{\left({2}^{N}-1\right)}^{2}[/tex]

@+

[edité]

Dernière modification par Golgup (15-02-2012 11:19:52)

Golgup · 15-02-2012 21:02:12

re,

plus joliement au lieu de voir le losange, on peut voir le carré et ca devient plus simple;

[tex]\sum^{N-1}_{j=0}\sum^{N+j-1}_{k=j}{2}^{a+k-1}.\left(b-j\,+\,\frac{a+k-1}{2}\right)[/tex] [tex]\,\,=\,\,{2}^{a-1}\left(b+\frac{a-1}{2}\right){\left({2}^{N}-1\right)}^{2}[/tex]

pour tous a,b,N >0 (entiers)

Qu'elqun peut prouver ça?

Golgup · 16-02-2012 14:59:05

re,

je continue et finis:

demontrons le résultat du message #6

mais il nous faut le résultat intermédiaire [tex]\left({2}^{X}-1\right)\sum^{X-1}_{j=0}j.{2}^{j+1\,}\,\,=\,\,\,\sum^{X-1}_{j=0}\sum^{X+j-1}_{k=j}{2}^{k}.k[/tex] (qu'on peut démontrer mais c'est un peu long ici)

posons [tex]{X}_{j}=\,b+\frac{a-1}{2}-j[/tex]

on a donc

[tex]\sum^{N-1}_{j=0}\sum^{N+j-1}_{k=j}{2}^{k}\left({X}_{j}+\frac{k}{2}\right)\,\,=\,\,\sum^{N-1}_{j=0}{X}_{j}\left({2}^{N+j}-{2}^{j}\right)+\frac{1}{2}\sum^{N+j-1}_{k=j}{2}^{k}k\,\,\,=\,\,\,\left({2}^{N}-1\right)\sum^{N-1}_{j=0}{X}_{j}{2}^{j}\,\,+\,\,\frac{1}{2}\sum^{N-1}_{j=0}\sum^{N+j-1}_{k=j}{2}^{k}k[/tex]

[tex]=\,\left({2}^{N}-1\right)\left(\left(b+\frac{a-1}{2}\right)\sum^{N-1}_{j=0}{2}^{j}\,\,-\,\,\sum^{N-1}_{j=0}j.{2}^{j}\right)\,\,+\,\,\frac{1}{2}\sum^{N-1}_{j=0}\sum^{N+j-1}_{k=j}{2}^{k}K[/tex]

=[tex]\left(b+\frac{a-1}{2}\right){\left({2}^{N}-1\right)}^{2}\,-\,\left({2}^{N}-1\right)\sum^{N-1}_{j=0}j.{2}^{j}\,+\,\frac{1}{2}\sum^{N-1}_{j=0}\sum^{N+j-1}_{k=j}{2}^{k}K[/tex]

donc voila c'est démontré!

Lachkar · 16-02-2012 15:52:33

Bonjour,

c'est bien de faire une demonstration assez longue, pouvez vous faire une application chiffrée de la somme des nombres constituant par exemple :

un losange dont le sommet est s=52 et le coté a n= 9.

le carree sommet a l'angle est 13 et n= 5

salut

Golgup · 16-02-2012 18:00:54

re,

losange et carré c'est pareil ici hein!

et le seul truc dont tu as besoin pour le faire toi même c'est que S_1,52 = S_3,12 = S_4,5 = 52

salut

Lachkar · 16-02-2012 19:03:22

Bonsoir,

je te dirais que non, car ma formule a moi donne autre chose
S = s (2ⁿ - 1)₂

Donc pour le losange on a n=9 ey le sommet s= 52,

applicons la formule LM doc la somme des nombres conclus dans le losange est S= 52.511² = 13578292

salut

golguup · 16-02-2012 19:13:36

non que quoi!?

ta formules a été prouvés , il n'y a rien a dire de plus

+

Lachkar · 17-02-2012 10:31:01

Bonjour,

Le problème qui était posé est de trouver une éventuelle utilisation ou application financière ou autre de cette formule puisqu'elle peut calculer la somme des nombres sous forme de losange contenus dans un tableau quelque soit sa dimension , surtout que ses nombres sont des suites géométriques.

Nous savons l’utilité de triangle de Pascal, le tableau d’Ératosthène....

Salut

golguup · 17-02-2012 12:35:06

re,

est ce que tu l'avais déjà prouvé ta formule?

Lachkar · 17-02-2012 15:13:45

Bonjour,

oui la formule est prouvée et discuter avec des professeurs en mathématiques. Nous cherchons des applications pour cette formule
( échantillonnages, statistiques, .....) ,

Salut

Lachkar · 06-04-2012 20:34:55

Lachkar a écrit :

Bonjour,
oui la formule est prouvée et discuter avec des professeurs en mathématiques. Nous cherchons des applications pour cette formule
( échantillonnages, statistiques, .....) ,
Salut

Bonsoir,

Je crois que personne ne peut m'aider a trouver une réponse a ma question .
Est -il tellement difficile a utiliser cette formule en pratique ?

J'attend avec impatience votre aide
Merci

freddy · 06-04-2012 23:58:14

Salut,

je crois que tu mets le chariot avant les bœufs !

Tu as cherché et trouvé une formule qui calcule quelque chose, et tu essaies de savoir à quoi ou qui ça peut servir.

Souvent, on a le problème inverse : on a un calcul à faire et au passage, on s'aperçoit qu'il y a un calcul un peu long à faire. On est donc motivé pour prouver l'intérêt d'une formulation générale et géniale, sans d'ailleurs la baptiser "conjecture" si elle est démontrée.

Toi, tu t'es posé un problème (pas vraiment très compliqué, juste un peu fastidieux) et tu cherches un domaine d'application. C'est compliqué de te répondre, car ta formule n'a rien de révolutionnaire et les domaines d'application ont pour principal défaut de ne pas se laisser facilement réduire à un problème déjà résolu.

Par contre, je ne comprends pas la différence entre le calcul de Golgup et le tien. Pourrais tu m'expliquer, stp ?

Dernière modification par freddy (06-04-2012 23:59:53)

Lachkar · 07-04-2012 10:13:28

Salut,

Merci pour tes remarques.
Ma formule est basée sur des suites géométriques se trouvant dans une population limitée par une forme ( un terrain par exemple).
Par contre la différence entre ma formule et le travail de Goloup, ce qu'on ne trouve pas le même résultat de calcul pour les mêmes chiffres .

En plus je crois qu'il y a pas mal de formules trouvées pour une chose puis avec le temps on les appliques pour d'autres domaines.

salut

freddy · 07-04-2012 10:48:46

Lachkar a écrit :

Salut,
Merci pour tes remarques.
Ma formule est basée sur des suites géométriques se trouvant dans une population limitée par une forme ( un terrain par exemple).
Par contre la différence entre ma formule et le travail de Goloup, ce qu'on ne trouve pas le même résultat de calcul pour les mêmes chiffres

as tu cherché à savoir pourquoi ? et à démontrer que golgup se trompait ?

Lachkar a écrit :

En plus je crois qu'il y a pas mal de formules trouvées pour une chose puis avec le temps on les appliques pour d'autres domaines.
salut

la seule manière de le savoir est de publier ta découverte dans une revue de mathématiques. C'est comme cela que le savoir se propage.

Qu'en pensent tes profs ?

Dernière modification par freddy (07-04-2012 11:18:21)

Lachkar · 07-04-2012 12:28:07

Bonjour,

Je n'ai pas dit que que Goloup s'est trompé.

Pour ton conseille de voir avec mes profs. c'est que je suis un vieux retraité qui aime les calculs et c'est pour cela que je m'adresse a vous pour que vous m'aidiez et m'orientiez .
Si vous avez une revue qui peut accepter ce travail dites le moi et merci mille fois.

Forum de mathématiques - Bibm@th.net

#1 10-02-2012 19:49:02

somme de plusieurs suites géométriques sous forme de losange

#2 13-02-2012 10:07:23

Re : somme de plusieurs suites géométriques sous forme de losange

#3 13-02-2012 10:59:46

Re : somme de plusieurs suites géométriques sous forme de losange

#4 13-02-2012 23:46:44

Re : somme de plusieurs suites géométriques sous forme de losange

#5 14-02-2012 13:54:45

Re : somme de plusieurs suites géométriques sous forme de losange

#6 15-02-2012 21:02:12

Re : somme de plusieurs suites géométriques sous forme de losange

#7 16-02-2012 14:59:05

Re : somme de plusieurs suites géométriques sous forme de losange

#8 16-02-2012 15:52:33

Re : somme de plusieurs suites géométriques sous forme de losange

#9 16-02-2012 18:00:54

Re : somme de plusieurs suites géométriques sous forme de losange

#10 16-02-2012 19:03:22

Re : somme de plusieurs suites géométriques sous forme de losange

#11 16-02-2012 19:13:36

Re : somme de plusieurs suites géométriques sous forme de losange

#12 17-02-2012 10:31:01

Re : somme de plusieurs suites géométriques sous forme de losange

#13 17-02-2012 12:35:06

Re : somme de plusieurs suites géométriques sous forme de losange

#14 17-02-2012 15:13:45

Re : somme de plusieurs suites géométriques sous forme de losange

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Re : somme de plusieurs suites géométriques sous forme de losange

#16 06-04-2012 23:58:14

Re : somme de plusieurs suites géométriques sous forme de losange

#17 07-04-2012 10:13:28

Re : somme de plusieurs suites géométriques sous forme de losange

#18 07-04-2012 10:48:46

Re : somme de plusieurs suites géométriques sous forme de losange

#19 07-04-2012 12:28:07

Re : somme de plusieurs suites géométriques sous forme de losange

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