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alain01

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Nombres complexes.

Bonjour à tous.
[tex](O;\vec{u};\vec{v})[/tex] est le plan complexe.A tout point M d'affixe z on associe le point M' d'affixe Z tel que:
[tex]Z=\frac{1}{z^2}[/tex] et   [tex]z\neq{0}[/tex].
1°)on pose  [tex]z=re^{i\theta}[/tex].
a)Ecrire Z sous forme exponentielle.
b)Zo est  un nombre complexe non nul fixé,est-il possible de trouver zo vérifiant  [tex]Z_0=\frac{1}{z_0^2}[/tex]?
2°)on suppose |z|=1.
a)connaissant M construisez M'.
b)déterminer les points M tels que Z=z.
3)(d) est la demi-droite d'origine O privée de O.
a)déterminer l'ensemble des points M' quand M parcourt (d).
b)déterminer l'ensemble des points M quand M' parcourt (d).

Réponses.
1)a) [tex]Z=(\frac{1}{r^2})e^{-i2\theta}[/tex]......(1).
b) on a Zo fixé donc on pose  [tex]Zo=Roe^{iao}[/tex] donc [tex]zo=\left(\frac{1}{\sqrt{Ro}}\right)e^{-i\frac{ao}{2}}[/tex].zo existe.
2°)|z|=1  donc |z|²=1. |Z|=1/|z|²=1 donc OM'=1.Le point M' est sur le cercle de centre O et de rayon 1.
D'apres (1) [tex](\vec{u};\vec{OM'})=-2\theta[2\pi][/tex] l'angle theta connu il est facile de construire M'.
b)Z=z.on obtient z^3=1;les racines cubiques de l'unité.Les points M sont les sommets du triangle équilateral
sur le cercle unité et un sommet est (1;0).
3)c'est là que ça ne va pas.J'ai voulu traiter la question analytiquement en ayant y=ax et X+iY=1/(x+iy)² pour
avoir X et Y en fonction de x et y mais je n'ai rien pu en déduire.Rien qu'en utilisant l'ecriture exponentielle je n'y
arrive pas.
Merci de corriger mes fautes et m'aider pour la question trois.

J'aimerais s'il vous plait que vous m'expliquiez la présence de e(base du logarithme népérien donc en Analyse)dans les nombres complexes.
complexes.

totomm

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Re : Nombres complexes.

Bonjour,

Pour le 3a), il faut simplement remarquer que l'angle de la demi-droite (d) reste fixe...
attention : Pour le 3b) il faut raisonner sur les angles comme pour le 2b)....
Pour l'apparition de e il faut regarder le développement en séries entières de sinx, cosx et [tex]e^{ix}[/tex] déduit du développement de  [tex]e^{x}[/tex]

Cordialement

alain01

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Re : Nombres complexes.

Bonjour Totomm.
3a)Si j'ai compris l'image des points M de coordonnées polaires [tex](r;\theta)[/tex]  appartenant à (d) formant avec
[tex](O;\vec{u})[/tex] un angle théta est l'ensemble des points M' de coordonnées polaires [tex](\frac{1}{r^2};-2\theta)[/tex] apprtenant à la demi-droite formant avec (O;u) un angle -2theta.
3b)on a montré dans le 1b qu'à M' fixé donc de coordonnées polaires (Ro;theta) il existe zo(1/VRo;-theta/2).M est sur
la demi-droite faisant avec (O;u) un angle -a/2.
Merci d'infirmer ou confirmer.

totomm

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Re : Nombres complexes.

Bonjour,

@ alain01 : Je suis passé très vite sur le 1b) L'angle polaire de Z₀ est défini à [tex]2k\pi[/tex] près, il y a donc 2 complexes z0 qui conviennent, d'angles polaires qui diffèrent de [tex]\pi[/tex]

de même en 3b), quand M' décrit une demi-droite, il y a 2 demi-droites opposées pour M....

Ne jamais oublier ces [tex]2k\pi[/tex] dans le plan complexe

Je suis un bien mauvais correcteur ! Cordialement.

alain01

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Re : Nombres complexes.

Je vous remercie vivement Totomm.