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Michel

Invité

Aide espaces vectoriels

Bonjour,

j'aurais besoin d'aide sur les espaces vectoriels:

Le sous-espace constitué des fonctions constantes et celui des fonctions d'intégrales nulle sur [0,1] sont supplémentaires dans l'espace des fonctions continues de R dans R.
Vrai ou faux? Je pense que c'est faux, si on s'était restreint aux fonctions continues de [0,1] c'était juste mais avez-vous un contre exemple?

Si u est un endomorphisme de rang r, quel est le rang maximal de u²? 2r?

Merci d'avance pour vos réponses.

Fred

Administrateur

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Messages : 7 352

Re : Aide espaces vectoriels

Bonjour Michel,

1) Pour ta première question, la réponse est oui : ils sont supplémentaires.
La preuve est d'ailleurs exactement identique à celle concernant les fonctions continues sur [0,1]. Relis-la, et tu pourras constater qu'il n'y a pas de différences.

2) La seule chose que l'on peut dire, c'est que Im(u²) est contenu dans Im(u) (prouve-le). Et donc le rang de u² est inférieur ou égal à r.
L'exemple de l'identité montre que l'on ne peut pas dire mieux (dans ce cas, rg(u²)=r).

Fred.